数值求解PDE的DELTA序列方法

摘要

传统的数值求解偏微分方程( )的算法包括以有限差分、有限元为代表的局部法和以谱方法为代表的整体法.近年来，Wei，Hoffman等人提出了一种基于Delta序列的离散奇异卷积(DSC)算法，这种算法兼具整体法的精确性和局部法的灵活性.不同的Delta序列核及其衍生算法已成功地应用到弹性力学、流体力学和数字信号处理、数字图像处理等多个领域.DSC算法的意义在于:DSC算子可以看作是一种微分算子，具有形式简单、结构统一，精度较高的特点;另一方面，Delta序列核与小波函数有着密不可分的联系.因此，DSC算法有利于偏微分方程数值解和小波分析这两个学科的交叉融合. 小波分析是泛函分析、调和分析、时-频分析、数值分析、逼近论和广义函数论等众多学科知识完美的结合体，具有应用广泛，理论性强的特点.由于小波分析也包含尺度划分、空间逼近和插值基函数等与数值求解对等的概念，因此本文试图将小波方法与算法相结合，充分利用小波函数自身的特性构造出具有快速衰减性质的序列，从而对DSC算法求解线性、非线性偏微分方程做出补充和改进. 在小波方法与算法相结合方面，本文主要从两方面入手：首先是以样条插值基函数为基础构造 -序列核，以非线性对流扩散方程为例给出了一种数值算法；进而对三次样条插值基函数进行改进，构造新的具有更快衰减性质的 -序列核，同样以非线性对流扩散方程为例验证了新函数在数值求解中的有效性.其次以小波函数的尺度函数作自相关，构造了一种短支集的 -序列核，这种 -序列核具有内插、对称、紧支的特点，在某些情况下求解某些方程具有优越性,这里以对流占优方程验证了小波 -序列求解的有效性，然后我们以二维椭圆方程为例，可以看到小波 -序列在二维方程的求解中同样取得了不错的效果.