抽象素数定理及广义黎曼假设的判别准则

摘要

素数定理是解析数论中最重要的定理之一，它可以陈述为当x→+∞时，不超过x的素数的个数π（x）渐近于x/logx，即1970年，John Knopfmacher[1]-[8]发展了抽象解析数论并建立了所谓的抽象素数定理。为了陈述Knopfmacher的结果，我们引入一些基本的符号和概念. 设G是可交换的半群，单位元是1.我们用P来表示G中所有生成元的集合，也就是G中所有素元的集合，并在G上定义范数|·|.我们称（G，|·|）是一个算术半群，若它满足下面的条件： （ⅰ）唯一分解原理。 G中每一个元素a≠1有唯一分解形式这里pi是P中不同的元素，αi是正整数。 （ⅱ）|1|=1，|p|>1其中p∈P。 （ⅲ）|ab|=|a||b|对于所有的a，b∈G. （ⅳ）对于x>0，G中满足|a|≤x的元素a的个数NG（x）是有限的。 为了研究半群G中素元的分布，Knopfmacher引入了下面的公理。 公理A.存在正常数A，ε和η，0≤η<δ，使得 NG（x）=Axδ+O（xη）， x→∞. 假设G是满足公理A的算术半群.对于实数x>0，令πG（x）是P中满足|p|≤x的元素P的个数，即 Knopfmacher[9]最初利用Ikehara’s Tauberian定理证明了这个结果，它可以和（0.1）进行比较.而后Wegmann[10]给出了一个稍微强一点的形式，即对于任意的a>0， 本文的主要目的之一是给出抽象素数定理的一个更强的结果.为此，我们在G上定义抽象zeta函数并在第一章给出ζG（z）的非零区域. 定理1.1.存在正常数c1>0，使得ζG（z）在下面的区域中没有零点，其中|t|≥2. 定理1.1对研究半群G中素元的分布起了重要的作用.利用定理1.1我们在第二章给出了πG（x）的渐进公式. 定理2.1.设x≥2，则存在某个正常数c2>0使得其中Ψ（x）的定义由第二章给出. 做为定理2.1的推论，我们有下面的结论。 定理2.2.当x→∞时，我们有 这里c2是定理2.1中的常数。 1954年，W.Forman和H.N.Shapiro[13]在公理A*的假设下证明了关于formation的抽象素数定理。从而将算术数列中的素数分布问题推广到更一般的算术formation的等价类中素元的分布.为了表述其结论，我们首先引入一些符号。 设X是保单位元的同态映射x：G→C×构成的有限abelian群.通常我们把x称为特征.在G上定义等价关系～X， a～X b当且仅当x（a）=x（b），对于所有的x∈X.设гX（简记为г）是上述等价关系下所有不同的等价类的集合，（G，г）称为算术formation，X称为由formation（G，г）确定的特征群.这说明G满足公理A.因此满足公理A*的formation的理论实际上是满足公理A的算术半群的理论的一般化. 假设（G，г）是满足公理A*的算术formation.对于x>0，设 本文的另一主要目的就是给出πH（x）的一个渐进公式.为此，我们定义G上的关于特征x的抽象L-函数对于给定的formation，抽象L-函数与算术半群上的抽象zeta函数有着类似的作用.它的非零区域可以用来研究formation的等价类中素元的分布.我们将在第三章给出LG（z，x）的非零区域. 此外，本文还研究了GL（2）上的经典自守形式，也就是全纯尖形式对应的自守L-函数，对于上述L-函数，我们给出了广义黎曼假设的判别准则. 众所周知，Nyman-Beurling准则是指黎曼假设等价于（0，1]区间上的特征函数x1（x）在平方范数意义下可以被1/ax的线性组合逼近，这里a是大于1的实数。2003年，Baea-Duarte对于黎曼假设给出了一个加强的Nyman-Beurling准则.他指出如果a是正整数，那么上述结论也是成立的，并且构造了一个逼近序列（），其中μ是Mobius函数。利用Baea-Duarte的方法，我们推广了Nyman-Beurling准则，给出了关于对应于全纯尖形式的自守L-函数的广义黎曼假设（GRH）的判别准则.

目录

文摘

英文文摘

论文说明：符号说明

声明

第一章抽象zeta函数ζG(z)的非零区域

§1.1预备知识

§1.2定理1.1的证明

第二章抽象素数定理

§2.1预备知识

§2.2定理2.1的证明

§2.3定理2.2的证明

第三章 LG(z，x)的非零区域

§3.1预备知识

§3.2定理3.1的证明

§3.3 x2=1的情况

第四章 关于formation的抽象素数定理

§4.1定理4.1的证明

§4.2定理4.2的证明

第五章广义黎曼假设的判别准则

§5.1预备知识

§5.2定理5.1的证明

参考文献

致谢

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