自守L-函数的广义素数定理

摘要

一般来说,L-函数是一种生成函数,它们或者来源于算术、几何对象(比如定义在一个数域上的椭圆曲线),或者是来源于自守形式.根据Langlands纲领,任何一个一般的上广函数都可以分解为GLm(QA)上的自守表示的L-函数的乘积,并且对于任何自守L-函数Ramanujan-Petersson猜想都成立.因而,对于自守L-函数的研究具有非常重要的理论意义.
　　 在本文中,我们将研究GLm(QA)和GLm(EA)上的自守表示所对应的自守L-函数的广义素数定理.
　　 设π是GLm(QA)上一个自守的不可约的尖的酉表示,L(s,π)为其所对应的自守L-函数.当()s>1时,它可由局部因子的乘积给出(见Godement,Jacquet[11]):
　　 其中
　　 根据Langlands对应,这里p为素数,且απ(p,j)是-个与πp有关的复数.
　　 为了把L(s,π)与素数联系起来,我们对其取对数导数可得
　　 其中A(n)是von Mangoldt函数,并且
　　 曲[38]在广义黎曼猜想下给出了L(s,π)的素数定理,并且得到:对于集合(1,x),除去一个测度为logx的子集外,有
　　 如果π'是GLm'(QA)上-个自守的不可约的尖的酉表示,类似地,我们定义L(s,π'),απ'(p,i)和απ'(pκ),这里i=1,...,m'.如果π和π'等价,则m=m',并且对任意的P,[απ(p,j)]=[απ'(p’i)].因此,当π≌π'时,对于任意的n=Pκ,有απ(n)=απ'(n).
　　 对如上定义的π和π',我们有与之对应的Rankin-Selberg L-函数L(s,π×π')(见Jacquet,Piatetski-Shapiro,Shalika[20]或Shahidi[43]).此L-函数由如下局部因子的乘积给出:
　　 其中
　　 同样地,我们有
　　 最近,刘和叶[31]研究了Rankin-Selberg L-函数的素数定理,即函数
　　 的渐进公式.他们的主要结果可概述为:如果π和π'至少有一个是自共轭的,则有
　　 在本文第一章中,我们应用Rankin-Selberg L-函数L(s,π×(π))的解析延拓、Euler乘积、函数方程及非零区域等性质,在已有结果的基础上证明了其对应的广义素数定理.考祭
　　 其中κ是一个正整数,ρπ×(π)(n)是一个和π,(π)有关的复数:我们有如下结果:
　　 定理1.1.设π是GLm(QA)上一个自守的不可约的尖的酉表示.如果π≌(π),则有
　　 其中复数aj,κ(j=1,...,κ-1)与π,(π)有关.
　　 令E/Q是Galois扩张,扩张次数为1.设EA=П'vEv为其所对应的adele环,其中v遍历E的所有位,并且П'表示限制积.对每个素数p,都有E()QQp=()v｜pEv.因为E/Q是Galois扩张,所以对所有的v｜p,Ev是等价的.我们用lp表示维数,ep=ordv(p)表示分歧指数,fp表示剩余类次数.则lp=epfp且qv=pfp是Ev的剩余类.另外,E()QR或者是()v｜∞R,或者是()v｜∞R.
　　 如上,假设ρ和ρ'分别是GLm(EA)和GLm'(EA)上自守的不可约的尖的酉表示.令L(s,ρ×(ρ))是其所对应的Rankin-Selberg L-函数.考虑
　　 最近,Gillespie和纪[9]研究了和式
　　 并且得到以下结果:如果ρ和ρ'至少有一个是自共轭的,则有
　　 在本文第二章中,我们考察
　　 其中κ是一个正整数,并且ρρ×(ρ)(n)是一个和ρ和(ρ)有关的复数.应用第一章的理论和方法,我们得到
　　 定理2.1.设ρ是GLm(EA)上一个自守的不可约的尖的酉表示.如果ρ≌(ρ),则
　　 其中复数cj,κ(j=1,...,k-1)与ρ和(ρ)有关.
　　 在2009年,吕[29]研究了L-函数L(s,π)的Fourier系数的均值估计.即
　　 其中π在每个有限位P上是非分歧的,且ε>0是一个任意小的数.
　　 在本文第三章中,应用修改了的Landau引理以及代数数域上关于Ramanujan猜想的最新结果,我们给出了GLm(EA)上的L-函数L(s,ρ)的Fourier系数的均值估计.我们的主要结果如下:
　　 定理3.1.设E/Q是Galois扩张,扩张次数为1.令ρ是GLm(EA)上一个自守的不可约的尖的酉表示,L(s,ρ)是其所对应的自守L-函数,λρ(n)是其第n个Fourier系数.如果ρ在每个有限位P上是非分歧的,则对任意的ε>0,有

目录

文摘

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符号列表

第一章 Rankin-Selberg L-函数的广义素数定理

§1.1引言及主要结果

§1.2 Rankin-Selberg L-函数

§1.3基本引理

§1.4一个加权的广义素数定理

§1.5定理1.1的证明

第二章 Rankin-Selberg L-函数在代数数域上的广义素数定理

§2.1引言及主要结果

§2.2预备知识

§2.3定理2.1的证明

第三章 自守L-函数系数在代数数域上的均值估计

§3.1引言及主要结果

§3.2 m=2时定理3.1的证明

§3.3 m≥3时定理3.1的证明

参考文献

致谢

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