若干孤子方程和超对称方程的研究

摘要

讨论孤子方程的可积性一直是孤立子理论研究中的一个重要且基本的课题.Painlevé分析在孤子理论研究中扮演着重要角色，特别是在研究方程的可积性质方面.人们发现，完全可积系统与Painlevé性质之间有密切的联系.求解非线性孤子方程的精确解是孤子领域的又一基本课题.目前已发展形成许多方法，Hirota双线性导数法和双线性B(a)cklund变换是其中常用的方法.本文首先对一个新的(2+1)维广义KdV方程进行Painlevé分析，并利用双线性方法求得了该方程的许多精确解.其次给出了两个破碎孤子方程的双线性B(a)cklund变换.
　　 由于可积系统在数学物理中有着广泛的应用，所以人们认为研究他们的超对称化亦是有着重要意义的.大量的孤子方程被推广为其超对称方程，同时研究普通孤子方程的方法也相继被推广用来研究超对称方程.本文最后是在参考一些相关文献的基础上，来论述如何应用双线性方法研究超对称方程.
　　 本文具体工作如下:
　　 1.第二章讨论了一个新的(2+1)维广义KdV方程，该方程存在双线性形式.首先证明此方程不能通过Painlevé测试.当参数a=0时，其退化的方程也不具有Painlevé性质.其次利用双线性方法，给出了(2+1)维广义KdV方程的双线性形式及多孤子解.基于双线性方法，采用长波极限法求得了有理解.最后给出了黎曼θ函数表示的周期解并对周期解的渐进性作了详细的分析.
　　 2.第三章利用一些双线性恒等式推得了Calogero方程和Bogoy-avlenskii破碎孤子方程的双线性B(a)cklund变换.对于Bogoyavlenskii破碎孤子方程，得到的是一个双参数的双线性B(a)cklund变换.此外，还根据Calogero方程的Lax对导出了其另一个双线性B(a)cklund变换.由此B(a)cklund变换，通过一个代数程序建构了Calogero方程的N孤子解.
　　 3.第四章以KdV方程为例来说明如何将其超对称化，如何导出超对称KdV方程的双线性形式以及如何求超对称KdV方程的孤子解.

目录

摘要

1 绪论

1．1 孤立子理论的产生与发展历史

1．2 孤立子的数学理论概述

1．3 论文的主要工作和结构

2 一个新的(2+1)维广义KdV方程的可积性与精确解

2．1 引言

2．2 (2+1)维广义KdV方程的Painlevé分析

2．3 (2+1)维广义KdV方程的孤子解和有理解

2．4 (2+1)维广义KdV方程的周期解

3 两个破碎孤子方程的双线性B?cklund变换

3．1 引言

3．2 双线性B?cklund变换

3．3 Calogero方程的双线性B?cklund变换和N-孤子解

3．4 Bogoyavlenskii破碎孤子方程的双线性B?cklund变换

4 双线性方法在超对称KdV方程中的应用

4．1 超对称的研究背景和相关数学理论

4．2 双线性方法在超对称KdV方程中的应用

5 总结与展望

参考文献

致谢

在学期间的研究成果及发表的论文

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