分数阶Gauss噪声激励下振动系统响应研究

摘要

数学家们很早就注意到了分数阶微积分，但是因为缺乏清晰的物理意义，长期以来分数阶微积分的理论研究只能局限于数学领域。近几十年来，自然科学与工程科学的研究者们重新关注到了分数阶微积分，把分数阶微积分的概念和理论引入到自然科学与工程科学，常常会带来新颖的思想，也常常使得问题更容易得到解决。根据被积或被导函数的性质，分数阶微积分可分为确定性分数阶微积分和随机分数阶微积分。本文的研究工作主要涉及分数阶Brown运动BH(t)，及其相关的分数阶Gauss噪声WH(t)。分数阶Brown运动是具有H自相似性的（0＜H＜1）、非Markov性的反常扩散过程(E[(BH(t))2]=t2H），当Hurst系数H=1/2时，它退化到传统的Brown运动。分数阶Gauss噪声则是分数阶Brown运动的导数过程，它是具有长相关性的和稳态的随机过程。当H=1/2时，它退化到Gauss白噪声过程。
　　本文的研究内容主要涉及到分数阶Gauss噪声激励下的线性和非线性随机动力学。作为基础知识，本文介绍了随机过程和其相关理论，介绍了标准Brown运动相关理论，以及分数阶微积分理论的基础知识，并对分数阶Brown运动和分数阶Gauss噪声的定义、理论和模拟算法做了阐述。在此基础上，重点阐述了目前本文研究工作，阐述了分数阶Gauss噪声激励下线性系统响应相关的理论研究过程和获得的成果。根据线性随机振动的理论方法和分数阶Gauss噪声的谱性质，得到了系统响应均方的解析表达式。根据分数阶随机积分的理论方法，以解析的方式说明了位移响应过程与激励噪声保持有相同的长相关指数2-2H，速度响应过程则失去了长相关性。此外，本文还研究了分数阶Gauss噪声激励下的拟Hamilton系统随机平均法，建立起Hamilton量所满足的分数阶随机微分方程，在降低了系统维数的同时又保持了原随机振动系统的动力学性质。最后，对于将来在分数阶Gauss噪声激励下非线性随机动力学的稳定性和可靠性等其他更深入的研究工作，本文也做了一些展望。

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摘要

致谢

第一章 绪论

1．1 研究背景

1．2 研究现状

1．3 本文的研究工作

第二章 标准Brown运动与Gauss白噪声

2．1 Brown运动与Gauss白噪声的联系

2．2 Gauss白噪声的数值模拟

2．3 Stratonovich随机积分和It?随机积分

2．4 It?随机微分规则

第三章 分数阶微积分基础

3．1 分数阶微积分的定义

3．1．2 Riemann-Liouville定义

3．1．3 Caputo定义

3．2 分数阶微积分的数值算法

3．2．2 Riemann-Liouville定义下的差分法

3．2．3 Caputo定义下的差分法

3．3 求解分数阶微分方程的Runge-Kutta法

3．4 通过幂函数表示分数阶微积分

第四章 分数阶Brown运动与分数阶Gauss噪声

4．1 自相似性

4．2 分数阶Brown运动

4．3 分数阶Gauss噪声

4．4 分数阶Brown运动的顺式积分

4．5 分数阶情形下的It?随机微分规则

第五章 分数阶Brown运动与分数阶Gauss噪声的数值模拟

5．1 通过Mandelbrot定义式产生的算法

5．2 通过Norros定义式产生的算法

5．3 通过相关矩阵法产生的算法

第六章 系统在分数阶Gauss噪声激励下的响应

6．1 线性系统在分数阶Gauss噪声激励下的频域响应

6．2 单自由度线性系统的情况

6．3 弱非线性系统受分数阶Gauss噪声激励的响应

第七章 分数阶Gauss噪声激励下的拟Hamilton系统随机平均法

7．1 分数阶Gauss噪声激励下的拟不可积Hamilton系统的随机平均法

7．2 分数阶Gauss噪声激励下的Duffing振子

7．3 分数阶Gauss噪声激励下的二自由度非线性系统

第八章 总结与展望

8．1 对目前研究工作的总结

8．2 对今后研究工作的展望

参考文献