与弱Clean性相关的环类研究

摘要

环论是代数学的重要分支，本文主要对弱dean环进行推广.把弱dean环与pseudo dean环和J-dean环联系在一起，引进并研究了pseudo weakly clean环,弱J＃-dean环和弱UJ#环，进而刻画了这些环类相关的结构.论文包括以下部分:
　　第一部分：介绍了clean环、弱clean环、弱nil-clean环、pseudo clean环、J-clean环和UU环的历史背景和发展过程，简要归纳了本文的主要工作和重要结果.
　　第二部分：介绍与本文相关的定义和重要结论.
　　第三部分：在含单位元的环中，结合弱clean环，对pseudo clean环进行推广,引进了pseudo weakly clean环的概念，并研究了pseudo weakly clean环的相关性质.首先，验证了环R的pseudo weakly clean性在斜幕级数环只[[x;σ]],Hurwitz级数环H(R)和T(R,σ)上的遗传性质.对于上三角矩阵的pseudo weak cleanness证明了：（1)R是pseudo clean环；（2)T2(R)是pseudo weakly clean环;(3)Tn(R)对一些n∈N*是pseudo weakly clean环;(4)Tn(R)对所有n∈N*是pseudo weakly clean环，这些条件等价.然后，证明了如果R是Abel环，那么R是弱exchange环当且仅当R是pseudo weakly clean环.更进一步，我们证明以下几点是等价的:(1)R是pseudo weakly clean环；(2)存在整数n,使得R[[X]]/(Xn)是pseudo weakly clean环；(3)存在整数n,使得R[[X]]/(Xn)是pseudo weakly clean环.由此推广了pseudo clean环的相应结果.
　　第四部分：在含单位元的环中，利用J#(R),对弱J-clean环进行推广，引进了弱J#-lclean环的概念，并研究了弱J*-clean环的相关性质.我们证明了只是弱nil-clean环当且仅当R是弱J#-clean环并且J(R)是幕零的.如果R是clean环，那么只是J#-clean环当且仅当R是弱Jlclean环并且2∈J(R).如果I是R的幂零理想,那么R是弱J#-clean环当且仅当R/I是弱J#-clean环.进而证明了诸多等价性质：（1)设只是一个环，且J，J(△)R.那么R/I是弱J#-clean的当且仅当R/In是弱J#-clean的，其中n≥1;(2)R/(IJ)是弱J#-clean的当且仅当R/(I∩J)是弱J#-clean的;(3)R/(IJ)是J#-clean的当且仅当R/(I∩J)是J#-clean的.然后，验证了环R的弱J#-clean性在R/P(R), T(R,M)和幂级数环R[[X]]上的遗传性质.特别地,阐述了S= R[D,C]是弱J#-lclean环成立的相关条件.
　　第五部分：在含单位元的相关条件环中，利用J#(R),对弱UU环进行推广，引进了弱UJ#环.在本文中，我们证明了每个Abd弱nil-clean环是弱UJ#环.环R的弱UJ#性在角环和S(R,σ)下是可遗传的.如果I是环R的幂零理想，那么R/I是弱UJ#环当且仅当R是弱UJ#环.更进一步，我们研究了clean weakly UJ#环.如果只是clean环，那么R是弱UJ#环当且仅当R/J(R)是弱UU环.
　　最后，提出与本课题有关的进一步的研究问题.

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