Delocalized解析挠率和对称双线性挠率

摘要

假设M是一个黎曼闭流形，F是M上的酉的平坦丛，则我们有Reidemeister挠率。如果H*（M，F）=0，则Reidemeister挠率是一个实数。如果H*（M，F）≠0，则我们可以在detH*（M，F）上定义Reidemeister度量。它们都是拓扑不变量，而且是第一个同胚不变而不是同伦不变的拓扑不变量。在1971年，Ray和Singer问有没有解析定义的挠率，并且他们定义了著名的解析挠率。他们证明了这个解析挠率不依赖于M的黎曼度量，所以他们猜测解析挠率等于Reidemeister挠率。后来这个猜测分别独立地被Cheeger和Müller证明。在1992年，Bismut和张把它推广到一般的平坦丛的情形。因为这篇论文的工作都是在Bismut和张的框架进行的，所以下面我们回忆一下Bismut-张定理。
　　 本文通过对Bismut-Zhang关于Ray-Singer解析挠率的方法的研究，我们得到了解析挠率方面的一些新结果.
　　 在[31]中，通过考虑覆盖群中的共轭类，Lott引进了delocalized迹的概念，然后他定义和研究了一些解析定义的delocalized L2-不变量，例如delocalized L2-Betti数，delocalized L2-解析挠率.在本文的第一章，综合原始的Bismut-Zhang方法（[12]，[13]）和它的L2的推广（[50]），我们定义了delocalized L2-组合挠率，并且得到了关于它的Cheeger-Müller型定理.
　　 本文的第二章是我和张伟平教授的一个合作的工作.最近，Burghelea和Haller（[14]，[15]）对于具有非退化对称双线性型的平坦丛定义了复值的解析挠率，并且提出了这个复值解析挠率和Turaev挠率的关系的猜测.在第二章中，我们把[12]中的结果推广到了复值解析挠率的情形.作为这个的推论，我们彻底解决了Burghelea和Haller的猜测.

目录

文摘

英文文摘

Chapter 1.A Cheeger-Müller theorem for delocalized analytic torsion

1.1.Introduction

1.2.Delocalized trace

1.3.Delocalized L2-combinatorial torsion

1.4.Delocalized L2-analytic torsion

1.5.A Cheeger-Müller theorem for delocalized analytic torsion

1.6.A closed l-form on R*+× R+

1.7.Witten deformation and a proof of Theorem 1.5.1

1.8.Proofs of Theorem 1.7.4 and Proposition 1.7.13

1.9.Proofs of Theorems 1.7.5 and 1.7.6

1.10.Proofs of Theorems 1.7.7 and 1.7.8

1.11.Proofs of Theorems 1.7.9,1.7.10,1.7.11 and 1.7.12

Chapter 2.A Cheeger-Müller theorem for symmetric bilinear torsions

2.1.Introduction

2.2.Symmetric bilinear torsions associated to the de Rham and Thom-Smale complexes

2.3.Comparison between the Ray-Singer and Milnor symmetric bilinear torsions

2.4.Asymptotics of the symmetric bilinear torsion of the Witten complex.

2.5.Proof of Theorem 2.3.4

2.6.Proof of Theorem 2.3.6

2.7.Proof of Theorem 2.3.7

2.8.Proof of Theorem 2.3.8

2.9.Proof of Theorem 2.3.9

2.10.Euler structure and Burghelea-Haller conjecture

Bibliography

致谢

简历