用于分布式风电系统的双线性控制模型解析方法

摘要

本发明提供了一种用于分布式风电系统的双线性控制模型解析方法。本发明提供了一类基于小波变换的分布式风电系统的双线性控制问题的解决方案。该方法避免直接求解由偏微分方程描述的双线性分布参数系统解析解的繁琐和困难，简化了双线性分布参数系统控制设计的过程。该算法简单，计算量小，控制效果好，为双线性分布参数系统控制提出了一条新的解决方案。

说明书

技术领域

本发明涉及控制理论与控制工程领域中的控制理论与方法的设计领域，更 具体地说，本发明涉及一种用于分布式风电系统的双线性控制模型解析方法。

背景技术

分布式风电系统中，大多数是非线性系统，甚至严重的非线性系统。同时 具有分布参数特性的系统即为非线性分布参数系统。分布参数系统通常由偏微 分方程描述。为了保证模型的精度，这类系统的动态模型往往是相当复杂的。 为了应用方便，常采用线性化的方法；但是，线性化对较大范围的输入变化不 能适应。这时，往往采用在不同区域内用不同的参数，但这又带来一定的复杂 性。

由于分布参数系统的状态空间是一个无限维空间，系统在每一个时刻的状 态是一个函数，一般情况下很难用解析式表示出来，因此其控制问题比起集总 参数系统来说要困难得多，也复杂得多，它涉及到偏微分方程的求解、分布参 数系统控制理论、数值求解方法等多门学科及其各种实时控制技术。分布参数 系统通常由偏微分方程描述，其双线性控制问题常常会涉及到微分算子运算或 者积分算子运算等理论，比集总参数系统双线性控制问题要复杂得多。目前还 没有一种有效的方法解决这个问题。

发明内容

本发明所要解决的技术问题是针对现有技术中存在上述缺陷，提供一种基 于小波变换的分布式风电系统的双线性控制问题的解决方案。

为了实现上述技术目的，根据本发明，提供了一种用于分布式风电系统的 双线性控制模型解析方法，其特征在于包括：

在第一步骤，建立一阶分布式风电双线性系统以得到：

$\frac{\partial x(t,z)}{\partial t}=a_{0}x(t,z)+a_{1}x(t,z)u(t,z)+\mathrm{bu}(t,z),z\in \left[\mathrm{0,1}\right],t\in \left[\mathrm{0,1}\right]---\left(1\right)$

初始条件I.C.  x(0,z)＝f(z)  (2)

边界条件B.C.  x(t,0)＝g₁(t)  (3)

其中，t为时间变量，z为空间变量，z∈[0,1]；x(t,z)为系统的状态；u(t,z)为系统的 控制作用,u(t,z)∈U_ad,U_ad为容许控制集；

在第二步骤，对(1)式两端进行积分，得到：

${\int }_0^z\frac{\partial x(t,z)}{\partial t}\mathrm{dz}={\int }_0^z{a}_{0}x(t,z)\mathrm{dz}+{\int }_0^z{a}_{1}x(t,z)u(t,z)\mathrm{dz}+{\int }_0^z\mathrm{bu}(t,z)\mathrm{dz}---\left(4\right)$

在第三步骤，对(4)式进行积分运算，并将状态变量、控制变量、初始条件 以及边界条件进行如下小波变换：

$\left(\begin{array}{c}x(t,z)={\hat{x}}^T\left(t\right)h\left(z\right)\\ u(t,z)={\hat{u}}^T\left(t\right)h\left(z\right)\\ I.C.x(0,z)=f\left(z\right)={\hat{f}}^{T}h\left(z\right)\\ B.C.x(t,0)=g_1\left(t\right)={\hat{g}}_1^T\left(t\right)h\left(z\right)=g_1\left(t\right){\hat{e}}^{T}h\left(z\right)\end{array}\right)---\left(5\right)$

式中h(z)为Haar小波函数，分别为x(t,z),u(t,z),f(z)的Haar基展开系数， $\hat{e}={[\mathrm{1,0},,0]}^T\in R^{n\times 1}.$

在第四步骤，利用小波变换积分运算矩阵P、乘积积分运算矩阵W进行计算， 得到：

$\frac{d{\hat{x}}^T\left(t\right)}{\mathrm{dt}}\mathrm{Ph}\left(z\right)=a_0{\hat{x}}^T\left(t\right)\mathrm{Ph}\left(z\right)+[a_1{\hat{x}}^T\left(t\right)\hat{u}\left(t\right)\mathrm{Wh}\left(z\right)-a_1{g}_1\left(t\right){\hat{e}}^T\mathrm{Wh}\left(z\right)]+b{\hat{u}}^T\left(t\right)\mathrm{Ph}\left(z\right)---\left(6\right)$

使得(6)式中两边同时消去h(z)，并进行转置，得到：

$P^T\frac{d\hat{x}\left(t\right)}{\mathrm{dt}}=a_0{P}^T\hat{x}\left(t\right)+[a_1{W}^T{\hat{u}}^T\left(t\right)\hat{x}\left(t\right)-a_1{W}^T{g}_1\left(t\right)\hat{e}]+b{P}^T\hat{u}\left(t\right)---\left(7\right)$

在第六步骤中，对(7)式两边同时左乘以P^-T，并进行整理以得到：

$\frac{d\hat{x}\left(t\right)}{\mathrm{dt}}=a_{0}I\hat{x}\left(t\right)+a_1{P}^{-T}{W}^T\hat{x}\left(t\right)\hat{u}\left(t\right)+b\hat{u}\left(t\right)-a_1{g}_1\left(t\right)P^{-T}{W}^T\hat{e}---\left(9\right)$

在第七步骤中，令：

$\left(\begin{array}{c}A=a_{0}I\\ B=\mathrm{bI}\\ N=a_1{P}^{-T}{W}^T\\ \hat{v}\left(t\right)=-a_1{g}_1\left(t\right)P^{-T}{W}^T\hat{e}\end{array}\right)---\left(10\right)$

由此将原双线性分布参数系统方程经过有限维逼近的微分方程描述为

$\left(\begin{array}{c}.\hat{x}\left(t\right)=A\hat{x}\left(t\right)+N\hat{x}\left(t\right)\hat{u}\left(t\right)+B\hat{u}\left(t\right)+\hat{v}\left(t\right)\\ I.C.\hat{x}\left(0\right)=\hat{f}={\hat{x}}_0\end{array}\right).$

本发明提供了一类基于小波变换的分布式风电系统的双线性控制问题的解 决方案。该方法避免直接求解由偏微分方程描述的双线性分布参数系统解析解 的繁琐和困难，简化了双线性分布参数系统控制设计的过程。该算法简单，计 算量小，控制效果好，为双线性分布参数系统控制提出了一条新的解决方案。

附图说明

结合附图，并通过参考下面的详细描述，将会更容易地对本发明有更完整 的理解并且更容易地理解其伴随的优点和特征，其中：

图1示意性地示出了根据本发明实施例的用于分布式风电系统的双线性控 制模型解析方法的流程图。

需要说明的是，附图用于说明本发明，而非限制本发明。注意，表示结构 的附图可能并非按比例绘制。并且，附图中，相同或者类似的元件标有相同或 者类似的标号。

具体实施方式

为了使本发明的内容更加清楚和易懂，下面结合具体实施例和附图对本发 明的内容进行详细描述。

本发明采用一种更为简单实用的非线性动态模型，即双线性系统模型。大 多数过程可以采用非线性系统“双线性化”的方法处理，比线性化的处理方法 好得多。

双线性系统是最接近于线性系统的一类非线性系统。一些工业过程本身可 以很自然地用双线性系统描述，主要集中在工业生产、生态、生物、社会经济 等过程中的许多对象，并且能够在稳态工作点的一个较大领域内描述一大类严 重非线性系统的动态特性。双线性系统结构简单，便于数学处理，且具有较强 的非线性动力学特性表达能力，其控制变量与状态变量的乘积项又是许多实际 过程存在的特性。由于双线性项的存在使得描述优于传统的线性模型近似。

目前双线性系统控制理论的许多研究成果多都是针对集总参数系统某些特 殊结构形式的双线性系统分析研究获得的。分布参数系统通常由偏微分方程描 述，其控制问题常常会涉及到微分算子运算或者积分算子运算等理论，比集总 参数系统控制问题要复杂得多。而将小波变换应用于双线性分布参数系统控制 的研究成果尚属空白。

本发明将复杂的双线性分布参数系统控制问题转化为集总参数系统控制问 题，利用成熟的集总参数系统控制问题研究方法进行设计，解决了分布参数系 统控制问题。该方法算法简单、计算量小，控制效果好。

本发明基于正交函数逼近理论，利用哈尔小波（Haar小波）作为正交函数 基，对偏微分方程描述的双线性分布参数系统采用集总化的方法转化为常微分 方程，采用成熟的集总参数系统控制系统的设计方法进行设计。首先采用小波 逼近法推出了系统的集总参数系统的近似模型，进而给出了使近似系统具有良 好动态品质的控制器的设计方法。该方法为双线性分布参数系统的控制提出了 一条新的解决方案。

I、如图1所示，首先，在第一步骤S1，建立一般性的一阶分布式风电双线性系统如下

$\frac{\partial x(t,z)}{\partial t}=a_{0}x(t,z)+a_{1}x(t,z)u(t,z)+\mathrm{bu}(t,z),z\in \left[\mathrm{0,1}\right],t\in \left[\mathrm{0,1}\right]---\left(1\right)$

初始条件I.C.  x(0,z)＝f(z)  (2)

边界条件B.C.x(t,0)＝g₁(t)  (3)

式中t为时间变量，z为空间变量，z∈[0,1]；x(t,z)为系统的状态；u(t,z)为系统的控 制作用,u(t,z)∈U_ad,U_ad为容许控制集。

上述一阶线性双线性分布参数系统模型在风电系统中具有实际应用背景， 因而对其研究具有实际应用价值。

II、基于小波变换的双线性分布参数系统小波逼近近似模型

在第二步骤S2，对(1)式两端进行积分，得到：

${\int }_0^z\frac{\partial x(t,z)}{\partial t}\mathrm{dz}={\int }_0^z{a}_{0}x(t,z)\mathrm{dz}+{\int }_0^z{a}_{1}x(t,z)u(t,z)\mathrm{dz}+{\int }_0^z\mathrm{bu}(t,z)\mathrm{dz}---\left(4\right)$

在第三步骤S3，对(4)式进行积分运算，并将状态变量、控制变量、初始条 件以及边界条件进行如下小波变换：

$\left(\begin{array}{c}x(t,z)={\hat{x}}^T\left(t\right)h\left(z\right)\\ u(t,z)={\hat{u}}^T\left(t\right)h\left(z\right)\\ I.C.x(0,z)=f\left(z\right)={\hat{f}}^{T}h\left(z\right)\\ B.C.x(t,0)=g_1\left(t\right)={\hat{g}}_1^T\left(t\right)h\left(z\right)=g_1\left(t\right){\hat{e}}^{T}h\left(z\right)\end{array}\right)---\left(5\right)$

式中h(z)为Haar小波函数，分别为x(t,z),u(t,z),f(z)的Haar基展开系数， $\hat{e}={[\mathrm{1,0},,0]}^T\in R^{n\times 1}.$

在第四步骤S4，利用小波变换积分运算矩阵P、乘积积分运算矩阵W进行计 算，得到：

$\frac{d{\hat{x}}^T\left(t\right)}{\mathrm{dt}}\mathrm{Ph}\left(z\right)=a_0{\hat{x}}^T\left(t\right)\mathrm{Ph}\left(z\right)+[a_1{\hat{x}}^T\left(t\right)\hat{u}\left(t\right)\mathrm{Wh}\left(z\right)-a_1{g}_1\left(t\right){\hat{e}}^T\mathrm{Wh}\left(z\right)]+b{\hat{u}}^T\left(t\right)\mathrm{Ph}\left(z\right)---\left(6\right)$

由于h(z)为小波基函数，所以(6)式中两边同时消去h(z)，并进行转置（第 五步骤S5），得到：

$P^T\frac{d\hat{x}\left(t\right)}{\mathrm{dt}}=a_0{P}^T\hat{x}\left(t\right)+[a_1{W}^T{\hat{u}}^T\left(t\right)\hat{x}\left(t\right)-a_1{W}^T{g}_1\left(t\right)\hat{e}]+b{P}^T\hat{u}\left(t\right)---\left(7\right)$

在第六步骤S6中，对(7)式两边同时左乘以P^-T，并进行整理可得到：

$\frac{d\hat{x}\left(t\right)}{\mathrm{dt}}=a_{0}I\hat{x}\left(t\right)+a_1{P}^{-T}{W}^T\hat{x}\left(t\right)\hat{u}\left(t\right)+b\hat{u}\left(t\right)-a_1{g}_1\left(t\right)P^{-T}{W}^T\hat{e}---\left(9\right)$

在第七步骤S7中，令：

$\left(\begin{array}{c}A=a_{0}I\\ B=\mathrm{bI}\\ N=a_1{P}^{-T}{W}^T\\ \hat{v}\left(t\right)=-a_1{g}_1\left(t\right)P^{-T}{W}^T\hat{e}\end{array}\right)---\left(10\right)$

则原双线性分布参数系统方程经过有限维逼近的微分方程可描述为

$\left(\begin{array}{c}.\hat{x}\left(t\right)=A\hat{x}\left(t\right)+N\hat{x}\left(t\right)\hat{u}\left(t\right)+B\hat{u}\left(t\right)+\hat{v}\left(t\right)\\ I.C.\hat{x}\left(0\right)=\hat{f}={\hat{x}}_0\end{array}\right)---\left(11\right)$

通过以上分析及推导，可以看出式(1)-(3)表示的原双线性分布参数系统经 过小波变换及其积分运算矩阵和乘积积分运算矩阵的应用，已经转化为(11)表 示的集总参数系统双线性控制问题，可根据集总参数双线性控制理论，求得状 态和控制律然后经过反变换，即得原分布参数系统的状态和控制律 ${\bar{x}}^{*}(t,z)={\hat{x}}^T\left(t\right)h\left(z\right),{\bar{u}}^{*}(t,z)={\hat{u}}^T\left(t\right)h\left(z\right)---\left(12\right)$

由此，本发明基于正交函数逼近理论，使得任何能量有限的函数都可以用 正交函数展开，展开式以均方逼近原函数。本发明选取Haar小波作为正交函数 基，并推出Haar小波变换及其运算矩阵和性质。

而且，本发明利用Haar小波作为正交函数基，及其运算矩阵与性质，对偏 微分方程描述的双线性分布参数系统采用集总化的方法化为常微分方程，将分 布参数系统转化为集总参数系统的近似模型。其基本方法是首先对偏微分方程 进行积分运算，得到积分方程，积分方程中的各种信号由正交函数逼近，再通 过Haar小波运算矩阵进行运算化为集总参数系统控制问题。

本发明利用成熟而易于求解的集总参数系统双线性控制问题的方法进行研 究；本发明采用小波变换的方法简化了问题的求解过程，算法简单、有效。

此外，需要说明的是，除非特别说明或者指出，否则说明书中的术语“第 一”、“第二”、“第三”等描述仅仅用于区分说明书中的各个组件、元素、步骤 等，而不是用于表示各个组件、元素、步骤之间的逻辑关系或者顺序关系等。

可以理解的是，虽然本发明已以较佳实施例披露如上，然而上述实施例并 非用以限定本发明。对于任何熟悉本领域的技术人员而言，在不脱离本发明技 术方案范围情况下，都可利用上述揭示的技术内容对本发明技术方案作出许多 可能的变动和修饰，或修改为等同变化的等效实施例。因此，凡是未脱离本发 明技术方案的内容，依据本发明的技术实质对以上实施例所做的任何简单修改、 等同变化及修饰，均仍属于本发明技术方案保护的范围内。