多电平Hadamard矩阵、非周期序列与失配序列研究

摘要

以法国数学家Jacques Hadamard的名字命名的Hadamard矩阵是一个元素为+l或—1的方阵，该方阵中的各行相互正交。这样的方阵可被直接用做纠错编码或正交扩频序列。另一方面，各种序列被广泛运用于包括CDMA系统、雷达、声纳、压缩、信道编码等在内的各种应用。Hadamard矩阵和序列有不同的形式，如二进制、复数和多电平Hadamard矩阵，周期、非周期序列，匹配和失配滤波序列，一维序列和二维阵列，等等。在实际中，不同的应用要求具有不同参数和性质的Hadamard矩阵和序列。本论文主要研究以下Hadamard矩阵和序列设计：多电平Hadamard矩阵，具有低自相关值的最大非平衡二进制序列，具有零相关区（ZCZ）的失配滤波序列等。 本论文首先讨论与二进制Hadamard矩阵以及正交设计有密切关系的多电平Hadamard矩阵的设计，以及多电平Hadamard矩阵在构造多电平ZCZ序列中的应用。这些序列的元素都是整数，因此二进制Hadamard矩阵是多电平Hadamard矩阵的特例。如果矩阵的不同元素只有两个，则可以构造任意阶的多电平Hadamard矩阵，基于循环矩阵或者循环差集，本文分别构造了三值的㎡和4n阶多电平Hadamard矩阵。高阶多电平Hadamard矩阵可以方便地通过两个已有的多电平Hadamard矩阵的Kronecker积来获得。如果所有的元素都是连续的整数，本研究坚信，除了一种未知的情况，奇数阶的Hadamard矩阵不存在。如果阶数是偶数，可以推导出阶数为2r的多电平Hadamard矩阵。基于多电平Hadamard矩阵，进一步获得了广泛运用于准同步CDMA系统的多电平ZCZ序列。 接下来，研究了具有低非周期自相关值的二进制序列的最大非平衡性问题，并同时推导了与之相关的理论界。论文详细地讨论了Barker序列、准Barker序列和最小边峰相关序列。假定所有的序列在以主峰为中心的、宽度为W的窗口内取得值为P的最小边峰值，基于序列非平衡性和非周期自相关函数的联系，这些序列的最大非平衡性受限于序列长度N、最小边峰P以及窗口尺寸W。理论和数值结果表明，对于某些给定的长度，上面提及序列的非平衡性可以达到理论界。非常特殊的是，对于这些长度，非等价序列非常稀少。有了这些理论界，人们只需要搜索在序列长度内具有相同奇偶性质3的非平衡序列，而它们的非平衡特性一定小于或等于理论界，而不用穷举具有给定长度的所有非平衡特性来搜索可能的最佳二进制序列。 最后，论文分析了具有零相关区的实值失配序列集，推导了由集合大小、序列长度和零相关区长度决定的理论界。论文给出了两种基于一对具有理想冲激互相关特性的序列，并利用失配滤波思想来构造具有周期零相关性质序列的方法。第一种方法基于Hadamard矩阵和由一对具有理想冲激互相关特性的序列所构造的循环矩阵。第二种方法同样基于Hadamard矩阵和一对理想的类脉冲互相关序列，但不需要循环矩阵。后一种方法可以得到最优的失配ZCZ序列。另外，在能量效率方面，所得的ZCZ序列集与具有理想冲激互相关特性的序列对相同。本论文提出的匹配与失配ZCZ序列适用于准同步CDMA系统，可降低或消除MAI，因此可以显著增加系统容量。