Devaney混沌的等价刻画与赋范空间上连续自映射的回归点研究

摘要

作为一门新科学的混沌学(Chaology)，一般认为始于李天岩和约克(Ybrke)1975年发表于《美国数学月刊》的论文“周期三蕴含混沌”，因为该文中“混沌”(Chaos)首次被作为科学名词使用。Li—Yorke混沌定义是高度抽象的数学定义，缺乏直观性。因此，1986年Devaney给出了一个直观性更强的Devaney混沌定义。由于混沌现象在自然界无所不有、无所不在，近三十年来混沌学研究得到了巨大发展并且其研究成果在自然科学和社会科学的许多领域都得到广泛应用。 混沌的数学基础至今还很薄弱，寻找各种混沌的等价刻画以及各种混沌之间的关系是当前混沌数学基础研究的重点课题。本文主要成果之一是：就此问题进行研究。首先，将Devaney混沌定义从度量空间推广到一般拓扑空间。在一般拓扑空间中分别得到了Devaney混沌的两组等价刻画。作为这两组等价刻画的推论：如果实数区间I或紧度量空间X上的连续自映射F对于任意两个非空开子集都共享同一周期轨，则F是Li-Yorke混沌映射。两个例子部分地说明本文所得结果在应用中的有效性。 本文的另一研究成果是对赋范空间中回归点理论进行研究，得到了如下三个结果： (1)如果F是序列紧赋范空间X上的连续双射，x是f的任一回归点，则对于任意整数，n≥0都存在厂的回归点x0∈X使得厂fn(x0)=x； (2)序列紧赋范空间上连续自映射的回归点集是厂的强不变子集； (3)如果厂是局部连通赋范空间X上的连续自映射，则厂的每一个回归点或是类周期点或是类周期点的聚点。 本文的成果是对混沌数学理论以及拓扑动力系统中回归点理论的进一步丰富和发展，在一定程度上展示了拓扑学在上述理论研究中的良好应用前景。

目录

文摘

英文文摘

声明

第一章绪论

1.1混沌动力学的出现与发展

1.2混沌动力学的研究现状

1.2.1轨道周期性研究

1.2.2拓扑传递系统的研究

1.3本文的选题和研究内容

1.4本文内容结构

第二章相关背景知识介绍

2.1动力系统的一些基本概念及有关结论

2.1.1动力系统

2.1.2动力系统中轨道的周期性、回复性

2.2混沌的一些基本概念及相关结论

2.2.1 Devaney混沌

2.2.2 Li-Yorke混沌

2.3拓扑传递系统中的混沌

2.3.1拓扑传递系统中的不规则集合及相关结论

2.3.2拓扑传递系统中的混沌

第三章Devaney混沌的等价刻画

3.1引言及预备

3.2基本引理及其证明

3.3 Devaney混沌的等价刻画

3.4应用举例

第四章赋范空间上连续自映射的回归点

4.1引言及其预备

4.2伸展集与压缩集

4.3主要定理

第五章总结

致谢

参考文献

攻硕期间取得的研究成果