高阶导子和约当高阶导子的局部特征

摘要

目前,在算子代数上对导子与约当导子之间的关系的研究越来越受到人们的关注,成为当今算子代数的一个非常活跃的研究领域之一。K.R.Davidson的专著《Nest Algebras》系统地总结了前20年的研究成果,提出了许多新的问题,极大地推动了套代数的研究,进而也推动了非自伴算子代数的研究。近几年来,国内外很多学者在各种算子代数上讨论了导子与约当导子之间的关系、导子与约当导子的局部特征等问题,其研究方法丰富多样,并且已经取得一系列深刻的成果,形成本研究领域的一个新亮点。
　　 例如:1957年,Herstein证明了从2-非挠的素环到其自身上的约当导子都是导子;2009年,R.Alizadeh证明了从全矩阵代数Mn(A)到Mn(M)的约当导子都是导子;1990年,D.R.Larson和A.R.Sourour研究了在Banach代数上局部导子和局部自同构的问题,并且证明了在B(X)上的每个局部导子都是内导子;1998年,张建华证明了在套代数上的每个约当导子都是导子;2007年,朱军证明了在算子代数中所有的可逆算子是全可导点;2008年,朱军和熊昌萍证明了在上三角代数中,除了零点之外的其他点都是全可导点;在同一年里,朱军和熊昌萍又证明了在复可分Hilbert空间上连续套代数中,所有到套中的闭子空间上的正交算子都是全可导点;2009年,朱军证明了在矩阵代数上除了零点之外的其他点都是全可导点,等等。
　　 在对导子与约当导子的研究成果逐渐成熟与完善的同时,人们开始把眼光和精力投注于对高阶导子和广义导子的研究。比如:2011年,曾红艳和朱军证明了:(1)如果D=(δi)I∈N是Banach代数上在可逆元X处的高阶可导映射,那么D是约当高阶导子;(2)在非平凡套代数上每个可逆算子都是高阶全可导点。这是高阶导子和约当高阶导子的局部特征的第一个研究成果,本人从中深受启发,于是讨论了在套代数上0点的高阶可导映射,以及von Neumann代数的一些特殊点上的高阶可导映射。
　　 本文共五章,第一章是绪论,简单的介绍文中所涉及的概念、记号、基本性质和定理。第二章是主要研究成果之一,在这一章里,假设A和B分别是含有单位元I1和I2的环,M是(A,B)-双模,那么T={(X W O Y)∶X∈A,Y∈B,W∈M}在通常的矩阵加法和乘法下构成三角代数。证明了如下结论:在三角代数T上的广义约当高阶导子是广义高阶导子。第三章主要证明了:在套代数中,当dn(I)=0时,0点是高阶全可导点。第四章主要证明了如下几个结论:在von Neumann代数中,(1)单位元I是高阶全可导点;(2)单位元I是约当高阶全可导点;(3)可逆元Z是高阶全可导点。第五章是总结和展望部分,并且提出了一些有关高阶导子和约当高阶导子的局部特征有待继续研究的问题。