广义非线性互补问题的局部误差界分析

摘要

广义非线性互补问题是计算数学与运筹学交叉领域的研究热点，它是由经典非线性互补问题直接推广而来。近些年，很多学者对该问题的理论与求解算法进行研究，现已有许多有效的求解算法，比较典型的算法有Newton算法、Levenberg-Marquardt（简称L-M）算法、信赖域算法等。误差分析在数值计算和数学规划研究中起着重要作用，特别地，对算法的收敛性分析起着不可忽视的作用。因此，探究广义非线性互补问题的误差界性质具有十分重要的理论和实际价值。
　　本文研究广义非线性互补问题的局部误差界。首先利用非线性互补函数将问题转化成与之等价的非光滑方程组，然后分析方程组的局部误差界，并给出其满足局部误差界性质所需的充分条件。在此基础上，给出一种修正L-M求解算法，该算法在弱于Jacobian矩阵非奇异的局部误差界条件下具有局部超线性或二次收敛速率。
　　本文研究了GNCP这个具有广泛应用背景的问题，主要从问题的等价转化、局部误差界及收敛性分析等方面进行研究。本文的主要内容安排如下：
　　第一章介绍了研究工作的背景、研究目的及意义，并介绍了本文的结构安排。
　　第二章介绍了关于广义非线性互补问题的相关定义和性质，如互补函数、光滑/半光滑函数、局部误差界条件等预备知识。
　　第三章介绍了几种广义非线性互补问题的等价转化方法，并提出m与n未必相等情况下的两种新的等价转化方法。
　　第四章对方程组进行局部误差界分析。在适当的条件下，给出了等价方程组满足局部误差界性质所需的充分条件。
　　第五章给出求解广义非线性互补问题的修正L-M算法，然后在局部误差界条件下证得该算法具有超线性或二次收敛速率。
　　第六章对本文进行总结，同时对未来研究工作做了展望。

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1 绪论

1.1 广义非线性互补问题概述

1.2 数学规划中的误差界

1.3广义互补问题误差界的研究现状及发展趋势

1.4 本文的主要工作

2 预备知识

2.1 范数和Jacobian矩阵

2.2 半光滑性质

2.3 互补函数和广义逆矩阵

2.4 局部误差界条件

2.5 数值算法的评价指标

2.6 本章小结

3 广义非线性互补问题的等价转化

3.1 基于FB函数的等价转化

3.2 基于FB光滑函数的等价转化

3.3基于FB函数的无参数等价转化

3.4一种新的无参数等价转化

3.5本章小结

4 局部误差界分析

4.1一种新的转化方程组的局部误差界

4.2本章小结

5 求解GNCP问题的L-M算法及收敛性分析

5.1求解GNCP问题的L-M算法

5.2局部收敛性分析

5.3本章小结

6 总结与展望

致谢

参考文献

附录：