两类凸多边形上广义重心坐标的单调性

摘要

近年来，随着工程实践的需要，广义重心坐标的性质逐渐受到关注。比如广义重心坐标具有局部性可以使得控制顶点仅仅影响其附近点的变化，而具有光滑性可以使得坐标是光滑变化的。为了广义重心坐标的应用更加广泛，需要对广义重心坐标有更深入的了解。本文主要研究了广义重心坐标的新性质，即单调性。具备单调性的广义重心坐标可以使等值线无局部极值点，应用到图形图像变形时处理效果不会出现人为痕迹。 首先，阐述了广义重心坐标的研究意义以及目前国内外该领域的研究现状；随后介绍了重心坐标的概念和基本性质，以及由三角形上的重心坐标推广到平面多边形上的广义重心坐标的概念和性质。 其次，研究了凸四边形中一类广义重心坐标的概念，并通过严格的理论推导证明此类凸四边形上广义重心坐标具有单调性。即对于任意的凸四边形，其任意顶点到任意边界点的连线上，该广义重心坐标是单调递减的，亦即该广义重心坐标具有单调性。 然后，阐述了平面凸多边形上五点坐标的定义，并通过大量的数值模拟得到数个反例，说明两种五点坐标不具备单调性。即通过找到的特殊的凸多边形，验证在凸多边形上两种五点坐标不具有单调性。亦即存在凸多边形，沿着指定顶点到固定边上点的连线上，该广义重心坐标不具备单调性。 一般情况下在不同的应用场景采用的广义重心坐标也有所不同，那么这些广义重心坐标是否具有单调性。比如三点坐标、格林坐标、泊松坐标等，这些问题将是后续需要进一步研究的内容。

目录

声明

1 绪论

1.1 广义重心坐标的研究意义

1.2 广义重心坐标国内外研究现状

1.3 本文的主要工作

2 背景知识介绍

2.1 重心坐标的概念与性质

2.2 广义重心坐标的定义以及性质

3 凸四边形上广义重心坐标的单调性

3.1 引言

3.2 凸四边形上广义重心坐标单调性的证明

3.3 本章小结

4 凸多边形上两种五点坐标的非单调性

4.1 引言

4.2 二种五点重心坐标的非单调性

4.2.1 第一种五点坐标

4.2.2 第二种五点坐标

4.3 本章小结

5 总结与展望

致谢

参考文献

附录