广义Wey1型李代数的量子化和广义Block型李代数的伪有限表示

摘要

李代数主要是因研究无穷小变换的概念而引入的一个代数结构,特别是用于研究李群和微分流形等的几何对象.众所周知,李代数的结构理论和表示理论是李代数理论中的两个最主要的课题.本论文主要研究了广义Weyl型李代数的量子化和一类Block型李代数的最高权表示,以及Block型李代数的Z<'2>-阶化的中间序列模的分类问题. 二十世纪八十年代,在对量子群的研究探讨过程中,特别是对Yang-Baxter方程的研究中,李双代数很自然地出现在人们面前.1983年Drinfeld首次引入了李双代数的概念并对其进行研究.自此之后,关于这类既具有李代数结构又具有李余代数结构的代数的文章陆续出现.本论文的第一章主要讨论了广义Weyl型李代数的李双代数结构,证明了任意广义Weyl型李代数上的李双代数结构都是三角的,上边沿的. 在对广义Weyl 型李代数W上的李双代数结构的研究中,考虑所有导子的集合Der(W,W W)与所有内导子的集合 Inn.(W,W W)之间的关系.由于广义Weyl型李代数是非阶化的(即非有限阶化),且是非线性的(即它的结构常数不是它的阶化次数的线性函数),所以对所有导子的集合的计算十分烦琐并且有很多的技巧在里面.通过计算我们得出所有导子的集合中没有外导子,即它与内导子的集合是相等的,再根据上同调的理论得知广义Weyl型李代数的一阶上同调群是平凡的,进而得到广义Weyl型李代数上的李双代数结构. 在量子群的理论中,构造李双代数的量子化是产生新的量子群的一个十分重要且有效可行的方法,所以研究李双代数的重要目的之一就是对其进行量子化.在本论文的第二章中,我们在第一章的主要结论的基础上,构造了广义Weyl型李代数的量子化. 无限维李代数的表示是许多数学物理学家一直很感兴趣的问题.1958年Block引入了一类无限维单李代数.从此之后,许多人研究了广义无限维Block型李代数(通常被称为Block型李代数).由于Block型李代数与广义Virasoro代数密切相关,对这些代数(它们中有些被称为Virasore.like代数)的研究也引起越来越多的学者的注意.本论文第三章研究了一类Block型李代数的最高权表示,主要讨论了这种类型的李代数上的Verma模,并完全确定了它们的不可约性.此外我们还得到不可约最高权B(Z)-模是伪有限的充分必要条件是它是某个Verma模的非平凡商模. 众所周知, Cartan-型李代数历史悠长但是它的表示理论却远远不够完善,所以为了对其表示理论有更深的理解很自然我们先要对特殊的Cartan-型李代数的表示进行研究.2004年苏育才教授给出了一些Block型李代数的伪有限模即子空间是有限维并且是齐次的z-阶化模的分类.特别,由于这些Block型李代数的z一阶化齐次子空间本身是无限维的,所以得出齐次空间维数是一致有界的伪有限模都是平凡的.赵开明教授给出了四类Cartan-型李代数中的第一类Witt型李代数的权空间维数是一维的权模的分类.由于我们所要研究的是Block型李代数,以上我们只列出了有关Cartan一型李代数的表示方面的几篇文章(当然还有很多我们没有一一列出),但我们可能已经可以看出Cartan一型李代数的表示并不象我们想像的那么简单.我们所定义的Block型李代数是Cartan s型李代数并且是Cartan H型李代数的特殊情形,因此对它们的表示进行研究是非常有意义的.在本论文的最后一章,我们对这一李代数的z<'2>一阶化的中间序列模作了一些讨论,并最终给出了它的z<,2>一阶化的中间序列模的分类.

目录

文摘

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第零章绪论

§0.1课题背景及已有的相关结果

§0.2本论文的主要内容

第一章广义Weyl型李双代数的结构

§1.1背景介绍

§1.2李双代数的基本定义及相关结果

§1.3广义Weyl型李代数的基本定义

§1.4主要结论及其证明

第二章广义Weyl型李代数的量子化

§2.1背景及意义

§2.2广义Weyl型李代数的量子化

§2.3主要定理的证明

第三章一类Block型李代数的Verma模

§3.1背景及主要结果介绍

§3.2定理3.1.2的证明

§3.3定理3.1.1的证明

第四章Block型李代数的Z2-阶化的中间序列模

§4.1背景及意义

§4.2基础知识

§4.3几个关键性引理

§4.4主要结果及其证明

参考文献

附录一致谢

附录二作者读博士期间发表和录用论文情况