同伦分析方法在非线性力学和数学生物学中的应用

摘要

1.研究内容、目的和意义
　　 针对非线性问题，人们已经发展出了许多方法，如各种摄动法、Adomian分解法、δ展开法、Lyapunov人工小参数方法等等，并在许多问题上获得了巨大的成功。然而，这些方法也各有其缺点和不足，如对小参数的依赖性、级数解的收敛性无法保证、人工小参数难于选取等，这些极大地限制了上述方法的应用范围和有效性。为了克服这些困难和不足，廖世俊教授于1992年发展了一种新的非线性分析工具-同伦分析方法(Homotopy Analysis Method，HAM[15])。该方法不依赖于某个小参数，并且所获得的近似级数解的收敛性可以通过引入的辅助参数(h)来控制和调节。同伦分析方法在解的基函数表达、线性算子和初始解的选取上具有很大的灵活性。合理地选取这些要素，能够进一步增强解级数的收敛性，从而能够以较低的阶数获得解的高精度近似。同伦分析方法已经在许多非线性问题上获得了成功，如边界层传热传质、非相似边界层问题、非定常边界层问题、多解问题、非线性振动问题、非线性波动问题、波流相互作用问题、金融数学中的美式看跌期权问题等等，这些都表明了同伦分析方法处理非线性问题的有效性和巨大潜力。
　　 但是同伦分析方法仍然有值得探索的余地。首先，尽管同伦分析方法提供了辅助参数(h)来控制级数的收敛性，但是，对于某些强非线性问题，仍需要在较高的阶数下才能获得足够精确的近似。这对于希望以低阶近似就能把握事物本质的研究者来讲，显然是不可接受的。好在同伦分析方法解决收敛性问题不止上述一条途径。它还提供了其他的方法。许多研究者早就注意到，同伦分析方法在基函数表达、线性算子和初始解的选取上具有灵活性。不同的选择，解的收敛性有时会有显著的不同。另外，通过对原方程引入新的变换，也可以改善解的收敛性。但是，关于这些改善收敛性的方法，并没有学者作出详细的比较研究和论述。因此本论文首先专注于同伦分析方法的收敛性，详细讨论新变换或不同的基函数、线性算子或初始解对解级数的收敛性的影响。目的是为强非线性问题的处理提供一些思路和途径，具有完善同伦分析方法的理论意义。
　　 在应用层面，虽然同伦分析方法已经成功地求解了许多非线性问题，但是关于它的应用远不是全面的和充分的。自然界本质上是非线性的，各个领域中都普遍存在许多非线性现象。科学技术的发展也催生了许多新兴交叉学科，这些学科中也衍生出各种各样的非线性问题。这些都给同伦分析方法提供了广阔的应用空间，同时也给同伦分析方法的进一步发展提供了契机，使得该方法在解决各种具有挑战性的非线性问题的过程中不断获得发展和完善。本论文首次将同伦分析方法应用于数学生物学这一新兴交叉学科中的疾病传播模型和时间滞后问题。首次获得了几个著名模型的解析近似解，并为这一领域的类似问题提供了一种解析方法。
　　 综上所述，本论文的工作是两方面的。首先，我们详细讨论了同伦级数解的收敛性与新的变换、基函数表达、线性算子以及初始解的关系。我们以非线性力学中的几个问题为例证明，对于强非线性问题，我们可以利用同伦分析方法的灵活性，通过引入新的变换或不同要素的选择来提高级数解的收敛性。另一方面，我们还将上述成果应用于非线性数学生物学中。这既是对同伦分析方法的完善，也为非线性数学生物学提供了一种解析方法，具有理论意义和应用价值。
　　 2.论文的主要工作
　　 2.1、VanderPol方程
　　 论文的第二章研究了如何在同伦分析方法的框架下通过引进新的变换来提高解的收敛性。我们以如下的VanderPol方程为例x

目录

声明

Table of Contents

Abstract

摘要

Chapter 1 Introduction

1．1 Homotopy Analysis Method

1．2 Motivations and Objectives

1．3 Thesis Outline

Chapter 2 Van der Pol’s equation

2．1 Introduction

2．2 Mathematical Formulation

2．3 HAM Analysis

2．3．1 HAM deformation equation

2．3．2 High-order deformation equation

2．4 Result Analysis

2．5 Conclusion

Chapter 3 Rayleigh’s equation and Generalized Van der Pol’s equation

3．1 Introduction

3．2 Examples

3．3 HAM Analysis

3．3．1 HAM deformation equation

3．3．2 High-order deformation equation

3．4 Result Analysis

3．4．1 Generalized Van der Pol’s equation

3．4．2 Rayleigh’s equation

3．5 Conclusion

Chapter 4 Thomas-Fermi equation

4．1 Introduction

4．2 Mathematical formulations

4．2．1 HAM deformation equation

4．2．2 High-order deformation equation

4．3 Convergence theorem

4．4 Result Analysis

4．5 Conclusion

Chapter 5 SIR Epidemic Model

5．1 Introduction

5．2 HAM Analysis of SIR model

5．2．1 Zeroth-order deformation equations

5．2．2 Higher-order deformation equations

5．2．3 Result analysis of the SIR model with examples

5．3 Conclusion

Chapter 6 SIS Epidemic Model

6．1 Introduction

6．2 HAM Analysis of SIS model

6．2．1 Zeroth-order deformation equations

6．2．2 High-order deformation equations

6．2．3 Result analysis for the SIS model with examples

6．3 Conclusion

Chapter 7 Nonlinear time-delay Logistic model

7．1 Introduction

7．2 HAM approach for time-delay model

7．2．1 Continuous Variation

7．2．2 Successive Approximations

7．3 Result analysis

7．4 Conclusion

Chapter 8 Conclusions and Future Work

8．1 Conclusions

8．2 Achievements

8．3 Limitations of method

8．4 Future work

Acknowledgements

Bibliography

Publications