Green函数在带扩散机制的非线性方程中的应用

摘要

本文旨在研宄Green函数方法及其在带扩散机制的非线性方程中的应用.我们主要考虑了两类带扩散机制的非线性方程.第一类方程是趋化模型，含有线性扩散项和非线性交叉扩散项.它们之间的竞争机制是此类方程的特点之一，也是研宄中我们要面对的主要困难.第二类方程是单个粘性守恒律方程.该方程在激波解附近的线性化方程除了含有非常系数项以外，还带有热扩散机制.我们将分别考虑这两类方程的初边值问题和大扰动Cauchy问题.具体内容概括如下：
　　第一章是绪论.这里，我们将着重介绍Green函数方法、趋化模型和粘性守恒律方程的相关背景，并给出一些重要的结果.
　　在第二章，我们将研宄一类吸引-排斥趋化模型Cauchy问题解的大时间行为.本章共分为两大部分.第一部分中，我们考虑该模型Cauchy问题小解的逐点估计.通过Green函数的方法，以及对非局部算子的精细估计，我们最终得到了小解的逐点估计以及衰减估计.结果表明，解的大时间行为与经典热方程的相似.接着在第二部分中，我们继续考虑了该模型Cauchy问题大初值解的衰减估计和爆破现象.大初值情形与小初值有很大不同，原因在于大初值情况下，非线性项所产生的聚集效应有可能压过排斥效应以及扩散效应，从而导致爆破的发生.具体情况要由方程中的参数之间的关系决定.最终，我们证明了当排斥效应压过聚集效应时，Cauchy问题总是存在一致有界的整体光滑解，并得到了解的衰减估计.这里我们所用方法主要是能量估计，Moser-Alikakos迭代技巧和基于Green函数的半阶导方法.特别需要指出的是，利用半阶导方法，我们可以在初值弱正则的情况下，逐步地提高解的正则性.最后，当聚集效应占据主导地位且方程满足一定条件时，我们利用动量方法得到了大解的爆破结果.
　　第三章，我们考虑Keller-Sege膜型在半空间xn> It上的初边值问题.我们提出了一个守恒边界条件，以保证质量仍旧满足守恒性质.在此条件下，我们分别研宄了解的全局存在性，正则性和大时间行为.我们首先应用Fourier变换和Laplace变换技巧以及复分析方法，构造了线性初边值问题的Green函数.然后通过Green函数的具体估计和Duhamel齐次化原理，我们证明了当初始值充分小时，该初边值问题总是存在唯一的全局经典解.更进一步地，我们得到了全局解的衰减估计.我们指出边界的移动方向对解的大时间行为会产生重要的影响.具体来说，当/<0时，解的模衰减率为(1+ t)-n/2(n为空间维数)，与热方程的一致.而当/>0时，却有不同的结果.不仅如此，此时解的渐近行为还与空间维数n有关. n>2时，我们证得尤~模衰减率是(1+ t)-(n-1)/2,但是n=1时，解并不会趋于零状态(只要初始质量不为零).相反地，我们证明解会以指数级衰减到唯一一个守恒稳态解.这是一个十分有意思的结果，该结果从某个层面上说明了边界会对解的大时间行为产生本质性的影响.
　　第四章，我们考虑两维的单个粘性守恒律方程激波附近大扰动解的稳定性问题.由于方程特殊的结构，以及小性假设的缺失，使得我们无法单纯依靠Green函数方法或者L2能量估计得到解的全局存在性和衰减估计.幸运的是，我们找到了方程的极大值原理和压缩原理.然后再结合能量估计，可以证明只要初值属于L1n H4(R2),大扰动解总是全局存在的.之后，我们进一步考虑了大扰动解的大时间行为.在弱激波条件下，我们对Burgers类型和更一般的类型进行了研宄，得到了大扰动解的L2衰减估计t-4和尤~衰减估计t-1.证明的思想主要是利用半群-能量相结合的方法得到解的某种小性估计，然后再利用能量不等式得到衰减估计.

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第一章 绪论

1 .1历史背景及研究现状

1 .2本文结构和主要结论

1 .3记号约定和预备知识

第二章 吸引-排斥趋化模型Cauchy问题解的大时间行为

2 .1 小初值解的逐点估计

2 .2 大初值解的衰减估计和爆破现象

第三章 Keller-Segel模型在半空间xn >It的渐近估计

3 .1 问题和结论

3.2 Green函数的构造

3.3 Green函数的性质

3 .4 局部存在性

3 .5 先验估计

3 .6 高维情形

3.7 —维情形

3 .8 定理的证明

第四章 两维单个粘性守恒律方程弱激波附近大扰动解的稳定性

4 .1 问题和结论

4 .2 经典解的全局存在性

4.3 Burgers类型的大时间行为

4 .4 较一般类型的衰减估计

参考文献

致谢

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