凸体迷向常数与超球帽面积公式

摘要

凸体几何是现代几何学的一个重要分支，凸体的迷向性是凸体几何研究中一个重要课题。迷向凸体作为几何断层学的研究对象之一在体视学、机器人学中的几何探索、仿晶学和信息论等领域有着广泛的应用。 本硕士论文以凸体的迷向性为主要研究内容．本文共分四个部分．首先介绍了几何分析的发展历史和研究现状．在第二章首先给出了凸体几个迷向条件，然后证明了它们的等价性；其次研究了凸体迷向位置的存在唯一性并给出了迷向常数的不同表达形式，由这些表达式可以看出迷向常数与凸体的惯量矩阵、与顶点在凸体内的随机单形的体积密切相关；论述了迷向体的截面性质，迷向体与ψ<,α>估计的关系，迷向体的质量分布特征以及迷向常数关于维数的单调性；最后给出了Bourgain问题与截面问题和单形猜想的关系：Bourgain问题等价于截面问题，而由单形猜想可以推导出Bourgain问题成立．第三章计算了e<'n><,p>空间单位球B<'n><,p>的迷向常数L<,B<'n><,p>>毋和单形的迷向常数，并根据Matlab软件计算结果讨论了B<'p><,n>的迷向常数L<,B<'n><,p>>的渐近性质，我们得到对于给定的p，L<,B<'n><,p>>随着n的增大而减小，在区间[2，+∞]内L<,B<'n><,p>>随着p的增大而增大，当n趋于无穷大时，根据计算结果猜想，单形迷向常数最大．第四章给出了R<'n>中超球帽面积公式。 作者取得的主要结果是：给出了凸体几个迷向条件，然后证明了它们的等价性；计算了e<'n><,p>空间单位球B<'n><'p>的迷向常数L<,B<'n><,p>>和单形的迷向常数，并根据Matlab软件计算结果讨论了B<'p><,n>的迷向常数L<,B<'n><,p>>的渐近性质；导出了R<'n>中超球帽面积公式。

目录

文摘

英文文摘

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第一章绪论

§1.1学科发展历程与研究现状

§1.2研究问题和主要工作

第二章凸体迷向条件的等价性及迷向凸体性质

§2.1记号与背景知识

§2.2凸体迷向条件的等价性

§2.3凸体迷向位置的存在唯一性及迷向常数的表示

§2.4迷向常数的界

§2.5迷向凸体性质

§2.6 Bourgain问题与两个猜想的关系

第三章几个凸体的迷向常数

§3.1enp空间中的单位球Bnp的迷向常数

§3.2enp空间中的单位球Bnp的迷向常数的渐近性质

§3.3单形的迷向常数

第四章Rn中超球帽面积公式及其应用

§4.1引言

§4.2Rn中超球帽面积公式

§4.3 Rn中超球帽面积公式应用

参考文献

攻读硕士学位期间公开发表及完成的论文

致谢