平面嵌入曲线流问题的一些注记

摘要

“几何流”是运用几何与分析的方法研究几何对象如何按照一定的方式形变及其应用的数学研究方向。从上个世纪八十年代起，它一直是几何分析领域的研究热点之一。我们的工作正是在这样的时代背景下完成的。 本文主要讨论曲线收缩流问题，鉴于问题的难度和作者目前的水平我们只研究平面上的曲线按平均曲率流方式的运动。对于这种特殊的平均曲率流，我们习惯上称之为“曲线收缩流”，简称为“曲线流”。本文中，我们考虑以下的平面曲线收缩流问题：其中γo是平面上一条简单的嵌入曲线， K是γ(·，t)是的曲率，N是γ(·，和t)单位内法向量。我们将讨论它的解的短时间存在性，保持嵌入性以及在演化过程中曲线的性态。最后给出嵌入曲线演化的最大有限时间T的一个有界估计。 本文主要有三部分组成。第一部分是引言，扼要的介绍曲率流理论的历史和背景以及本文的主要结论。第二部分是平面嵌入曲线收缩流。首先应用DeTurk的方法给出了曲线流解的短时间存在性，其次是曲线流的演化性态，包括曲线流在发展过程中保持嵌入以及沿着曲线流嵌入曲线先变成凸曲线，最后收缩成一点。第三部分是关于最大存在时间的有界估计。我们引入曲线的一些几何变量的发展方程，在这些方程的基础上给出本文的主要结论。

目录

文摘

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第一章引言

第二章平面嵌入曲线流

2.1曲线流短时间存在性

2.2曲线流的演化性态

2.3奇异性分析

第三章最大有限时间的有界性估计

3.1关于一般曲线流的一些结果

3.2最大有限时间的有界估计

参考文献

致谢