模糊线性系统及广义特征值、奇异值问题

摘要

模糊数学自Zadeh在1965年发表的奠基性论文“Fuzzy Sets”中首次提出模糊集的概念后得到了迅速发展,已经形成了一个新的独立的数学分支,在工程分析、模式识别、图像处理、自动控制、经济和金融等领域中都有广泛应用。实际中的许多问题最终都归结为模糊线性系统的求解问题,这就需要我们对模糊线性系统的求解进行研究,尤其是对迭代方法的研究,进而对扰动分析的研究也就显得很有必要了。矩阵的广义特征值问题大多来自数学物理方程、统计分析、自动控制、线性二次优化控制、多体系统、建筑工程、生物科学等.而矩阵的(广义)奇异值问题在模式识别、图像处和信号处理、统计学以及许多其它应用数学领域都有重要应用。 本文对模糊线性系统的迭代法和扰动分析以及矩阵奇异值、广义特征值、广义奇异值的零结构条件数做了一些研究。首先,研究了模糊线性系统的块迭代方法,给出了迭代格式、算法和收敛性条件,数值例子表明方法是有效可行的。其次,对非奇异模糊线性系统的扰动分析进行了研究,给出了扰动上界,定义了几种条件数,给出了各条件数的显式表达式。最后,对矩阵奇异值、广义特征值、广义奇异值的零结构条件数做了研究,得出了零结构条件数的等价表示式,从而可以显式计算条件数的大小来估计单奇异值、广义特征值和广义奇异值对扰动的敏感性。

目录

文摘

英文文摘

第一章 引言

§1问题来源

1.1模糊线性系统

1.2矩阵广义特征值、奇异值问题

§2 研究动机

2.1 模糊线性系统求解及扰动分析

2.2 矩阵(广义)特征值、奇异值的零结构条件数

§3报告结构

第二章预备知识

§1矩阵论概要

1.1基本概念和性质

1.2向量范数和矩阵范数

§2 广义逆概念

§3 迭代法概述

3.1 迭代法原理

3.2 基本迭代法

第三章 模糊线性系统的块迭代方法

§1 块Jacobi和Gauss-Seidel迭代法

1.1模糊线性系统

1.2块迭代方法

1.3迭代矩阵谱半径之间的关系

§2 梭糊线性系统的块SOR迭代法

2.1块SOR方法

2.2 收敛性分析

2.3 最优松弛参数

2.4数值例子

2.5结论

第四章 模糊线性系统的扰动分析

§1扰动分析

§2条件数

§3例子

§4结论

§5定理证明

第五章 特征值和奇异值的零结构条件数

§1 奇异值的零结构条件数

1.1引言

1.2零结构条件数

1.3模式条件数:Toeplitz和Hankel矩阵

1.4数值示例

1.5结论

§2 广义特征值和奇异值的零结构条件数

2.1引言

2.2广义特征值情形

2.3 广义奇异值情形

2.4数值例子

2.5结论

参考文献

博士后期间研究成果

附录 符号表

致谢