分红及若干相关随机控制问题研究

摘要

在运筹学研究中，最优化问题研究已经有了比较长的历史，他们关注的主要问题是寻求最优的策略，使得成本最小化或者利润最大化，容易理解，类似的最优化问题在金融数学中也经常遇到．因为，经济金融问题往往也是寻找最优控制问题．公司管理者（包括精算师等）的职责就包括不断地为公司寻找最优决策．金融数学中，用到最优控制理论的早期文献如：Merton(1969)，Merton(1971)，Karatzas(1997)，Karatzas and Shreve(1997)等．保险问题中的早期文献如De Finetti(1957)，它提出了离散模型的最优分红控制问题，这个问题在Gerber(1969)中得到解决．Shreve，Lehoczky and Gaver(1984)在扩散模型下研究了类似的问题．近年来，保险金融中的随机控制问题已经成为国内外学者们研究焦点之一，并取得了丰硕的科研成果，相关的参考论文将在本章第2节中加以介绍．值得一提的是，有两个综述性的参考文献，Hipp(2004)和Schmidli(2008)，详细介绍了金融保险方面最优控制问题研究的最新进展，供感兴趣的读者参考．
　　 本文用Xлt表示公司在t时刻的资产，它受到容许策略л的控制．任意给定资产初值χ和容许控制策略л，我们定义一个与之相关的运行函数V（χ，л）．我们感兴趣的是寻找值函数V(χ)=maxлV(χ,л)（即最大的运行函数）．这里包含两个问题，如果值函数存在的话，如何求解；使得V（χ，π*）=V(χ)的那个最优控制策略π是怎样的？为了找到值函数，我们往往假定未知的值函数具有某些理想的性质，从而推导出值函数满足的Hamilton-Jacobi-Bellman方程（简称HJB方程），有时候可以通过解HJB方程找到值函数可能的解．为了验证这个可能解确实足值函数，还需要借助鞅论中的知识，用验证性定理加以确认．本学位论文共分为六章．第一章介绍一些随机控制的基本理论和相关问题研究现状．第二章研究经典模型下考虑破产赤字影响的最优分红问题，第三章研究几何布朗运动模型的最优资产控制问题，在类似的目标函数下，第四第五章研究了对偶模型下的最优资产控制问题．第六章用几何均值回归模型模拟汇率，为使得运行费用函数最小化，我们研究了汇率市场的最优干涉策略.
　　 第二章研究经典Cramer-Lundberg风险模型下的最优分红问题，最优分红问题中，传统的研究对象是破产前折现分红期望，仅仅关注破产前的分红流，而对破产后赤字不予考虑，为了弥补这一不足，我们定义一个新的运行函数，这一新的运行函数除了包含破产前折现分红期望以外，还考虑了破产时赤字和破产时刻对分红策略的影响，按照是否有分红速度限制，我们把最优分红问题分成两种情况来讨论，得到了值函数所满足的一些性质，结果证明，为了最大化新的运行函数，barrier策略和threshold策略依然是两种最优的分红方式．文章在指数分布的情况下给出了问题的显式解．Schmidli(2008)第2.4节中的许多结论得到推广．
　　 在第三章，我们用何布朗运动模拟公司资产过程．假设公司可以通过两种方式来控制资产，分红和注资．运行函数定义为整个公司资产过程中分红折现期望与注资折现期望之差．为了最大化这个运行函数，公司管理者努力寻找最优的分红与注资方式．分别在比例的交易费用和固定交易费用的情况下，我们找到了最优的控制策略．我们给出了一些数据的例子，用来说明参数的影响，并反映了两种交易费用下控制策略的关系．
　　 在对偶模型的框架下，我们在第四第五章中继续关注分红-注资的最优控制问题．为了最大化资产过程中分红折现期望与注资折现期望之差，我们寻求最优的控制策略，在假设存在比例和固定两种交易费用情况下，控制问题得到解决，据我所知，这是首次在跳模型下研究注资的固定交易费用问题的文章，固定交易费用的出现使得比例交易费用下的最优停时间题转化为脉冲控制问题，与第四章不同的足，在第五章中我们对分红速度加以约束，相应的最优分红策略由barrier模式变成了threshold模式，我们得到约束条件下的最优控制策略，并与第四章中的结果加以对比，文中我们用一些数值例子来说明值函数的具体算法，并给出了一些有趣的经济解释．
　　 第六章中，我们提出用几何均值回归模型来模拟汇率市场．相对于以往的汇率模型而言，它至少有两个优势；从长远来看，轨道围绕某回归均值上下波动，另外它的轨道始终为正值．这就排除了货币快速贬值或升值的可能，中央银行为了汇率保持在一个合理，稳定的水平上，伺机干涉汇率．为了使得整个干涉过程的费用函数最小化，我们寻找最优的干涉时刻和干涉额度．文章利用随机控制中的变分不等式等工具，从理论上找到了最优的干涉策略．