四次λ-Bézier曲线的形状修改、分割及延拓算法研究

摘要

在CAD/CAM领域，参数曲线曲面是用于描述产品几何形状信息的主要工具，也是CAGD的基础和核心，构造具有良好性质的曲线曲面在理论和实际应用上均有重要的价值。传统Bézier方法具有良好的性质，但是在给定控制顶点后却无法调整自身形状。近年来，带形状参数的Bézier曲线曲面成为CAGD中研究的一个新热点，这类新曲线曲面继承了传统Bézier曲线曲面的优点、且含有独立的形状参数，方便调控自身的形状。基于这种背景，本文对一类带形状参数的四次,λ-Bézier曲线的相关算法做了较为深入的研究，研究内容和取得的成果包括： (1)提出了基于单点约束和多点约束优化的四次λ-Bézier曲线形状修改算法。通过应用拉格朗日乘数法对2个控制顶点的修正量εi(i=1，2)进行优化，来实现四次λ-Bézier曲线的形状修改，使得形状修改后的曲线满足给定的位矢和切矢约束要求，且形状修改前后的曲线还满足一定的保形性;最后，给出了一些具体的形状修改实例，实例结果表明本文所提方法可以有效地修改四次λ-Bézier曲线的形状。 (2)对于四次λ-Bézier曲线的分割给出了2种分割算法：①系数分割算法先将四次λ-Bézier曲线转化为传统四次Bézier曲线，其次利用分割前后曲线形状不变求出分割后子曲线段的控制顶点，最后再转化为四次λ-Bézier曲线控制顶点的表达式；②切线分割算法利用分割前后曲线端点处的一阶导数成比例的关系，求出分割后的四次λ-Bézier曲线控制顶点的显示表达式，同时给出了曲线的分割误差和数值实例。 (3)研究了四次λ-Bézier曲线的3种延拓算法。首先，利用曲线的C2或G2连续条件求出了延拓到给定单点的延拓曲线，并通过极小化目标函数优化形状参数得到最优延拓曲线；其次，分别根据曲线的C1和G1连续性条件，求出了2种连续条件下延拓到给定2点的延拓曲线控制顶点；最后，利用曲线C1或G1连续条件求出了延拓到给定曲线的延拓曲线，并以形状参数λ为优化参数，通过极小化目标函数得到了最优延拓曲线。所给数值实例表明，该方法简单有效、可以实现四次λ-Bézier曲线的定点、定曲线延拓。

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