多维第一类Fredholm积分方程数值解研究

摘要

多维第一类Fredholm积分方程在数学物理和科学技术领域有着广泛的应用.但由于此类问题本身的不适定特点以及高维数的复杂性,给研究带来很大困难,因此,探寻稳定高效的数值求解方法有着十分重要而深远的意义.本文主要以二维及三维第一类Fredholm积分方程为研究背景,对其数值求解方法进行了分析研究.论文的主要研究工作如下: (1)对第一类Fredholm积分方程的国内外发展状况、存在问题及本文的研究工作做出详细安排,并给出了相关预备知识. (2)利用数值积分公式,将二维、三维第一类Fredholm积分方程离散成线性系统,给出了详细过程. (3)将两类重要的微分方程(热传导方程、泊松方程)反问题化归为二维第一类Fredholm积分方程,给出了基于Kryov子空间的两种迭代算法(RRGMRES、CGLS),并对计算结果进行了比较分析. (4)利用最大熵正则化算法及基于k步迭代的v-方法研究了三维第一类Fredholm积分方程.以此为基础,给出了一类三维热传导方程反问题的数值求解方法,并进行了数值模拟,结果对比表明,所提出的方法是可行有效的.

目录

声明

1 绪论

1.1 课题的研究背景和意义

1.2 积分方程的来源与发展

1.3 多维第一类Fredholm积分方程的研究现状

1.4 本文主要研究工作

2 预备知识

2.1 积分方程的概念与分类

2.2 多维第一类Fredholm积分方程反问题及其不适定性

2.3 基本定义与定理

2.4 本章小结

3 实对称核第一类Fredholm积分方程的两种解析解法

3.1 Schmidt-Picard定理

3.2 逐次逼近法

3.3 本章小结

4 二维第一类Fredholm积分方程的数值求解

4.1 二维第一类Fredholm积分方程的离散

4.2 二维第一类Fredholm积分方程的解法—Krylov子空间法

4.2.1 限制值域广义极小残余算法(RRGMRES)

4.2.2 共轭梯度最小二乘迭代算法(CGLS)

4.3 数值算例

4.3.1 数值算例1

4.3.2 数值算例2

4.3.3 数值算例3

4.4 本章小结

5 三维第一类Fredholm积分方程的数值求解

5.1 三维第一类Fredholm积分方程的离散

5.2 三维第一类Fredholm积分方程的解法

5.2.1 最大熵正则化算法

5.2.2 v-方法

5.3 数值算例

5.3.1 数值算例1

5.3.2 数值算例2

5.4 本章小结

6 结论与展望

致谢

参考文献

附录