第一类Fredholm积分方程数值算法的研究

摘要

第一类Fredholm积分方程的求解问题,是一类特殊的反问题,故具有反问题求解的特征即不适定性。为了得到稳定的数值解,必须采用正则化方法解决该类问题。 本文的主要目的是求解不连续真解的一维第一类Fredholm积分方程,进而离散求解二维第一类Fredholm积分方程。为得到稳定的数值解,对其积分核离散并用正则化方法求解,正则参数的选取采用L-曲线法和偏差原理。本文的焦点工作就在于第一类Fredholm积分方程的数值算法研究,传统的正则化方法只适合于连续真解问题的求解,因此,构造适合于不连续真解的问题求解的正则化方法就成为本文研究的难点问题和主体内容。 首先,给出Fredholm积分方程的基本模型和方法,阐述了该问题求解的困难所在；其次,对不连续真解的一维第一类Fredholm积分方程用全变差正则化求解；由于二维第一类Fredholm积分方程的离散问题一直以来没有得到系统的解决,本文系统的描述了二维第一类Fredholm积分方程的离散,奇异值分解,选取正则化参数,并求解。主要思想是结合系数矩阵的结构,将L-曲线法和偏差原理与正则化方法相结合,该类算法不仅适用于一维Fredholm积分方程,也可应用于二维第一类Fredholm积分方程的不适定问题。 大量的数值模拟和对实验结果的分析,验证了文中给出的全变差正则化算法求解一维不连续真解Fredholm积分方程是有效的也是可行的；求解非奇异核的二维第一类Fredholm积分方程依赖于核的变化及其真解的光滑度,此外,数据的扰动和网格的剖分也有关系。

目录

文摘

英文文摘

声明

1前言

1.1反问题与Fredholm积分方程

1.2 Fredholm积分方程的研究现状

1.3目前存在的问题

1.4本文的研究工作

2预备知识

2.1第一类Fredholm积分方程的概念

2.2第一类Fredholm积分方程的应用

2.3第一类Fredholm积分方程的不适定性

2.4第一类Fredholm积分方程的离散

3正则化方法

3.1正则化理论

3.2吉洪诺夫(Tikhonov)正则化方法

3.3全变差(TV)的正则化方法

3.4固定点迭代法

3.5正则参数的选取

3.5.1 Morozov的偏差原理

3.5.2广义偏差原理

3.5.3 L-曲线法

4全变差在求解不连续真解的反问题中的应用

4.1问题的提出及转化

4.2一维全变差算法及其理论分析

4.3问题的离散化

4.4数值模拟

4.4.1数值模拟一

4.4.2数值模拟二

4.5本章小结

5二维第一类Fredholm积分方程的离散及求解

5.1用数值积分离散方程

5.2核矩阵的分析

5.2.1核矩阵的条件数

5.2.2核矩阵的奇异值分解

5.3二维问题全变差的离散

5.4二维Fredholm积分方程数值模拟

5.4.1数值模拟一

5.4.1数值模拟二

5.4.1数值模拟三

5.5本章小结

6结论与展望

致谢

参考文献

附录