双曲型守恒律方程高阶能量稳定格式的研究

摘要

双曲型守恒律方程数值解法既是偏微分方程数值解研究的重点,也是难点。通常我们只能得到该方程的弱解,所以必须对其加以限制,才可能获得符合物理背景的解。与物理背景紧密联系的方法分为两类:分别是从能量稳定角度或熵稳定角度对问题进行研究。能量稳定格式具有结构简洁、分辨率较高等优点,近年来倍受大家关注,通量重构思想是该方法的核心,以此为基础人们提出了各种通量重构方法。针对一般方法在精度和稳定性方面的不足,Huynh提出了高阶通量重构法,其本质是首先将通量分为间断通量和修正通量,以此为基础,分别对其进行高阶重构,进而将其相加,得到数值交界面通量。本文在Huynh工作的基础上,将NodalDiscontinuousGalerkin法和SpectralDifference法分别引入到高阶修正通量构造和能量稳定性的证明中,得到一种新的数值方法即高阶能量稳定格式。该方法具有物理背景明确、无需添加人工耗散项、格式精度高等特点,能有效避免非物理解的产生,是一种求解双曲型守恒律方程的有效方法。
　　本文主要工作如下:
　　(1)详细介绍了能量保持格式和一般能量稳定格式的构造过程和相关原理。构造了一类保持总能量不变的能量保持格式,阐述了一般能量稳定格式在数值试验中存在的不足。
　　(2)构造了一类高精度的能量稳定格式。通过在标准元上选取高次多项式作为基函数,进行单元通量高阶重构,提高了格式的精度;允许基函数在单元交界面处出现间断,有效地扑捉到了数值解中的激波。
　　(3)恰当地选取参数c,确定了通量修正函数,保证了格式的能量稳定性。通过恢复几种重要格式,并进行数值实验。一系列数值算例表明,高阶能量稳定格式是鲁棒的、有效的。

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第一章 绪 论

1.1选题背景及意义

1.2 相关研究综述

1.3论文主要工作及章节安排

第二章 基本概念与基础理论

2.1 引言

2.2 双曲型守恒律方程组

2.3 特征线、激波与弱解

2.4 熵对和熵条件

2.5 Riemann问题

2.6 有限差分法

2.7 有限体积法

2.8 本章小结

第三章 一般的能量稳定格式

3.1引言

3.2 能量保持格式

3.3 一般能量稳定格式的构造

3.4 本章小结

第四章 高阶能量稳定格式的构造

4.1 引言

4.2 区域剖分

4.3 构造半离散格式

4.4 能量稳定的通量重构

4.5 参数c的选取

4.6 修正函数的确定

4.7 恢复几种重要格式

4.8 本章小结

第五章 数值试验

5.1 引言

5.2 线性通量

5.3 非线性通量

5.4 本章小结

总结及展望

全文总结

进一步展望

参考文献

致谢