具有反应扩散过程的集合种群模型的研究

摘要

集合种群模型不仅被用来描述种群的繁衍、竞争以及死亡等，还可以被用来描述疾病在种群内部以及种群之间的传播规律.相对于经典仓室模型而言，异质集合种群上的传染病模型，在考虑了子种群内部的演化过程的同时，还考虑了子种群之间的相互作用规律.很明显，网络的拓扑结构和个体的移动规律对种群内疾病的传播产生重大影响.因此具有反应扩散过程的异质集合种群上的传染病动力学成为研究的热点.
　　为了刻画大尺度空间范围内的个体移动对疾病传播的影响，本篇文章主要研究了异质集合种群网络上的传染病的传播过程.在前人研究的基础上，主要从扩散问题上展开的讨论.通过分别考虑异质性扩散率和交通流量异质性两方面的因素，建立了微分方程动力学模型，并对模型的性态进行了分析.
　　在第二章中，考虑到城市之间存在规模以及交通发达程度等方面的异质性，扩散率也存在一定的异质性.以城市作为节点，建立了具有异质性扩散率的传染病模型.更加准确地刻画了网络结构以及人口的迁移对疾病传播的影响.运用微分方程定性与稳定性理论方法，首先给出了系统的无病平衡点的局部稳定性，并在此基础上计算出了疾病传播的阈值条件，其次又应用了矩阵理论的相关知识证明了当达到疾病爆发的阈值条件时，系统存在唯一的地方病平衡点.再者，又应用了特征值的估计等方法证明了地方病平衡点总是局部渐进稳定的.最后是数值模拟，数值模拟结果与理论结果相一致.通过研究发现，城市人口密度、城市连通度和道路交通流量的异质性都是影响扩散率的因素.并且得到了扩散率与城市连通度、交通流量异质性参数之间的关系.
　　在第三章中，考虑到个体选择每一条道路迁移的可能性不同，道路交通流量方面也会存在一定的异质性.按城市的度进行归类，建立了具有交通流量异质性的传染病模型.同样地，首先对系统进行定性定量分析，利用了下一代矩阵的方法得到了无病平衡点不稳定的阈值条件.然后证明了当达到疾病爆发的阈值条件时，系统存在唯一的地方病平衡点，并且地方病平衡点总是局部渐近稳定的.最后再次给出数值模拟，数值模拟结果与理论结果相一致.
　　研究结果表明，城市的人口密度、交通发达程度以及道路交通流量异质性都会影响城市疾病的爆发.显然，交通条件较发达的城市成为人口迁移的目标城市的可能性较大.再加上发达城市拥有较健全的医疗设备等，因此无论是易感者还是染病者，选择前往大城市迁移的倾向性会比较高.相对而言，当一种流行病来临时，大城市爆发疾病的风险性会大一些.因此，加强对疾病的控制可以从两方面进行:首先，人们应该具有一定的预防疾病的意识.不管是染病者还是易感者，都应尽量降低前往大城市出行的频率.其次，大城市本身要着重做好对疾病的预防工作，制作出一套相对合理、完整的预防措施和应对预案.

目录

声明

摘要

1．1研究背景及意义

1．2 国内外研究现状

1．3主要研究内容

第二章具有异质性扩散率的传染病模型的分析

2．1模型的介绍

2．2模型的建立

2．3 模型的动力学性态分析

2．3．1无病平衡点的稳定性分析

2．3．2 地方病平衡点的存在唯一性证明

2．3．3 地方病平衡点的稳定性分析

2．4 数值模拟

2．4．1 无标度网络下的数值模拟

2．4．2 小世界网络下的数值模拟

2．4．3本章小结

第三章具有交通流量异质性的网络传染病模型研究

3．1模型的介绍

3．2模型的建立

3．3 模型的动力学性态分析

3．3．1无病平衡点稳定性分析

3．3．2 地方病平衡点的存在唯一性证明

3．3．3地方病平衡点的稳定性分析

3．4 数值模拟

3．5 本章小结

第四章总结与展望

参考文献

攻读硕士学位期间的研究成果

致谢