高阶微分方程周期边值问题解的存在性与多重性

摘要

本文主要研究高阶微分方程周期边值问题解的存在性与多重性.论文分两章对一类非线性四阶周期边值系统及高阶周期边值问题进行了讨论. 在第一章中，主要研究四阶周期边值系统正解的存在性.在文中我们构造了一个锥，它是由两个锥做笛卡尔乘积得到的.在此锥中，我们把微分方程解的问题转化为积分方程的不动点问题，再利用不动点指数理论得到结论.在第二章中，主要研究高阶周期边值问题非零解的多重性.通过使用锥中的不动点指数理论和Leray-Schauder度，在一般的非线性条件下，得到高阶周期边值问题至少有六个不同的非零解.进一步，若非线性项是奇函数，我们可得到至少八个非零解.就我们所知，对于上述提到的两类周期边值问题的研究还很少见，本文对这两类问题进行了研究，得到了较满意的结果，在第一章中，我们主要讨论以下四阶周期边值系统：?正解的存在性，其中f<,i>{∈C([0，1]×R<'+>，R<'+>)，h<,i>∈C(R<'+>×R<'+>，R<'+>)，i=1，2，R<'+>=[0，+∞)，α，αβ∈R<'1>且满足β>-2π<'2>，0<α<(β/2+27π<'2>)<'2>，α/π<'4>+β/π<'2>+1>0. 对非线性项f<,i>，h<,i>，假设满足：? 定理1.3.1.设，f<,i>∈C([0，1]×R<'+>，R<'+>)，h<,i>∈c(R<'+>×R<'+>，R<'+>)，且f<,i>，h<,i>满足条件(A<,1>)-(A<,4>)，i=1，2，则系统(1.1.1)至少有一个正解. 在第二章中，我们主要讨论以下高阶周期边值问题? 其中L<,2m>u(t)=(-1)<'m>u(2m)(t)+∑<'m=1><,k=0>(-1)<'k>a<,k>u(2k)(t)是2m阶线性微分算子， f∈C(R，R). 主要结论如下： 定理2．3．1．如果条件(B<,0>)-(B<,4>)成立，则边值问题(2.1.1)至少有六个不同的非零解，它们是两个正解，两个负解以及两个变号解，定理2.3.2．如果条件(B<,0>)-(B<,4>)成立，且f是奇函数，即f(-u)=-f(u)，u∈R，则边值问题(2.1.1)至少有八个不同的非零解，它们是两个正解，两个负解以及四个变号解．

目录

文摘

英文文摘

承诺书

第一章四阶周期边值系统正解的存在性

§1.1引言

§1.2预备知识

§1.3主要结果及其证明

第二章高阶周期边值问题解的多重性

§2.1引言

§2.2预备知识

§2.3主要结果及其证明

结束语

参考文献

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