哈密顿--雅克比方程的有效哈密顿函数

摘要

本文考虑Hamilton-Jacobi方程H(x,P+Du)=λ的与有效Hamilton函数相关的一系列问题。
　　 Lions,Papanicolaou和Varadhan首先证明了存在唯一的实数λ∈R使得Hamilton-Jacobi方程存在全局粘性解,记此唯一的与P有关的实数λ∈R为(-H)(P),称为有效Hamilton函数。
　　 有效Hamilton函数有着十分明确的物理意义:它表征了量子本征态所对应的能量值。并且它在Hamilton-Jacobi方程的均匀化理论、解的长时间渐近行为等的研究中都起着非常重要的作用,与弱KAM理论、Aubry-Mather理论等也有着十分密切的联系。
　　 第一章首先介绍这一方面研究进展,既包括理论上的推广,也包括数值计算和应用方面的进展。然后给出必要的预备知识。
　　 第二章首先给出Lions,Papanicolaou和Varadhan等人的原始证明,然后给出一个新的关于有效Hamilton函数存在唯一性的几何方法的证明。这种方法不仅可以证明有效Hamilton函数的存在唯一性,而且由此出发还可以讨论有效Hamilton函数的一些性质以及建立它与Aubry-Mather理论的密切联系。
　　 第三章将对有效Hamilton函数进行刻画。首先是它的一些等价表示,这是由有效Hamilton函数的存在唯一性的几何证明出发而得到的关于(-H)(P)的一些表达式,它们表征了有效Hamilton函数的一些极限特性。还有(-H)(P)的两个变分表示,它们是后面数值计算的理论基础。之后讨论了有效Hamilton函数的一些基本性质,它们反映了(-H)(P)的性质与Hamilton函数H的性质之间的密切关系。
　　 第四章讨论有效Hamilton函数的计算问题。首先对于一些具体的Hamilton函数给出相应的有效Hamilton函数的解析表达式。由于一般而言只有对于特殊的Hamilton函数才能得到有效Hamilton函数的解析表达式,所以接下来讨论了相应的数值计算问题。数值计算的方法义分为两类:偏微分方程方法和变分方法,对每一类方法都进行了简单的分析讨论。
　　 第五章给出有效Hamilton函数的一些应用。首先说明有效Hamilton函数的物理意义:它表征了本征态所对应的能量值,接着给出它在Hamilton-Jacobi方程的均匀化理论、解的长时间渐近行为等的研究中的应用,最后指出了有效Hamilton函数与弱KAM理论、Aubrry-Mather理论的密切联系。

目录

文摘

英文文摘

第1章 引言及预备知识

1.1 引言

1.2 综述

1.3 预备知识

第2章 有效Hamilton函数的存在唯一性

2.1 有效Hamilton函数的存在唯一性的证明

2.2 有效Hamilton函数的存在唯一性的一个几何证明

第3章 有效Hamilton函数的刻画

3.1 有效Hamilton函数的等价表示

3.2 有效Hamilton函数的基本性质

第4章 有效Hamilton函数的计算

4.1 有效Hamilton函数计算的例子

4.2 有效Hamilton函数的数值计算

4.2.1 数值计算的偏微分方程方法

4.2.2 数值计算的变分方法

第5章 有效Hamilton函数的应用

5.1 有效Hamilton函数的物理意义

5.2 有效Hamilton函数的线性规划解释

5.3 有效Hamilton函数在均匀化理论中的应用

5.4 有效Hamilton函数在解的长时间渐近行为研究中的应用

5.5 有效Hamilton函数与弱KAM理论的关系

5.6 有效Hamilton函数与Aubry-Mather理论的关系

参考文献

致谢

个人简历、攻读硕士学位期间完成的文章