关于有限Abel群计数的若干问题

摘要

设a(n)表示所有的非同构Abel群的个数.熟知对每一个素数p,自然数α≥1有a(pα)=P(α),这里P(α)表示α的无约束划分的个数.特别我们有：
　　a(1)=1,a(p)=1,a(p2)=2,a(p3)=3,
　　a(p4)=5,a(p5)=7,a(p6)=11,a(p7)=15.
　　有关有限Abel群的个数函数a(n)的均值,许多数论家做了深入的研究：
　　P.Erdos,G.Szekeres首先证明：
　　∑a(n)(n≤x)=c1x+O(x1/2).
　　Kendall,Rankin证得：
　　∑a(n)(n≤x)=c1x+c2x1/2+O(x1/3logx).
　　H.-E.Richert证得：
　　∑a(n)(n≤x)=c1x+c2x1/2+c3x1/3+O(x3/10log9/10x).
　　我们令△(x):=∑a(n)(n≤x)-c1x-c2x1/2-c3x1/3，以下是近期的研究成果：
　　△(x)《x20/69log21/23x,W.Schwarz；
　　△(x)《x7/27log2x,P.G.Schmidt；
　　△(x)《x97/381log35x,G.Kolesnik；
　　△(x)《x40/159+ε,H.Q.Liu；
　　△(x)《x50/199+ε,H.Q.Liu；
　　△(x)《x55/219log7x,Sargos and Wu；
　　△(x)《x1/4+ε,Robert and Sargos.
　　本文将研究a(n)在k-full数集中的均值.设k≥2为一固定正整数,n>1的标准分解式为n=p1α1…psαs,若αj≥k(j=1,…,s),则称n为k-full数.令δk(n)表示k-full数的特征函数,我们有下面两个定理：
　　定理1我们有渐近公式
　　∑a(n)δ3(n)(n≤x)=x1/3P1(logx)+x1/3P2(logx)+O(x1/4+ε),其中Pj(t)(j=1,2)是t的j次多项式.
　　定理2我们有渐近公式
　　∑a(n)δ3(n)(n≤x)=x1/3Q2(logx)+x1/4Q4(logx)+x1/5Q6(logx)+O(x0.1876+ε),其中Qj(t)(j=2,4,6)是t的j次多项式.
　　下面我们证明一个假设性结果：
　　定理3若Riemann-zeta函数的Lindelof假设成立,则
　　∑a(n)δk(n)(n≤x)=∑[x1/jHp(j)-1(logx)+O(x1/2k+ε)](2k-1)(j=k)，其中Hp(j)-1(t)是t的P(j)-1次多项式.

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第一章 关于有限Abel群计数的若干问题

第二章 指数除数函数的小区间问题

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