非线性微分—差分方程的Liouville可积性、守恒律与Darboux变换

摘要

为了探讨非线性可积微分一差分方程族的生成及有关性质，本文利用离散的零曲率表示的方法分别构造了若干个Lax可积的微分一差分方程族，并对其Liouville可积性、可积耦合系统、无穷多守恒律、利用Darboux变换求解作了较为详细的研究。在第二部分中，提出了几个离散的等谱特征问题，导出了相应Lax可积的孤子方程，并建立了它们的Hamilton结构，并证明其Liouville可积性。其中还讨论了一个谱问题相应的正负可积族。在第三部分，首先利用扩展的等谱问题得到两族不同方程的可积耦合，其一是利用扩展Loop代数成为新的李代数的方法，其二是利用半直和的李代数方法给出对应的扩展模型；其次利用谱矩阵的Lax对的方法给出了两类不同等谱问题的无穷多守恒律。在文章的最后，对所给的谱矩阵问题通过构造适当的Darboux矩阵，利用Darboux变换的方法给出了一个晶格孤子方程的孤立子解，同时还给出了对应解的图形。

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1 绪 论

1.1 孤立子理论的产生及发展

1.2 孤立子理论的研究概述

1.3 孤立子研究的意义及其应用

1.4 本课题研究的主要内容

2 可积的微分-差分方程族

2.1 一般理论和方法

2.2 广义的Lotka-Volterra方程族及Liouville可积性

2.3 一个新的离散方程族及Hamilton结构

3. 微分-差分方程族的可积耦合与守恒律

3.1 微分-差分方程族的可积耦合

3.2 微分-差分方程族的守恒律

4 非线性微分-差分方程族的Darboux变换

4.1 Darboux变换的一般理论

4.2 新的晶格孤子方程的Darboux变换

参考文献

致谢

攻读硕士期间发表的论文