几类半参和非参模型的适应性推断

摘要

经验似然方法自问世以来便得到了数理统计学界的广泛关注.经验似然作为一种非参方法，并不需要对观测数据做出分布族假定，因而经验似然可以被看作是没有重复抽样的bootstrap方法，或者是没有参数假定的似然方法.通过将估计方程运用为一个最优化问题的约束条件，在构造似然比函数时，并不像极大似然那样需要首先得到参数的点估计。由于经验似然构造的参数的置信域不再是二次型的形式，其置信域的形状完全决定于观测数据，在本文中我们称这一性质为数据-适应性（data-adpative）。基于经验似然诸多的优点，特别是其良好的渐近势，在统计推断问题上得到了广泛的应用，已经成长为数理统计学的重要研究工具和前沿的研究领域。 当我们把经验似然应用于构造参数的置信域，依据我们的研究重点，模型中的参数分为兴趣参数（interesting parameter）和讨厌参数（nuisance parameter）为了构造兴趣参数的置信域，我们可以先将讨厌参数估计出来，带入估计函数，这便是plug-in方法。在参数模型中，讨厌参数的估计有参数的收敛速度，因而不会改变估计函数的收敛速度，从而不影响经验似然或者极大似然的渐近卡方性质。但是在半参模型中，例如 y=g（X；β）+ε，未知函数g（·）是无穷维讨厌参数，g（·）的偏差只能达到非参的收敛速度，此时应用plug-in方法得出的对数经验似然比函数的渐近分布为d-1个（d为β的维数）独立的x12分布的随机变量的加权和，而且各个权重是未知的。在本文的第二章，我们会简要的介绍现存的估计各个权重的方法及其不足，同时给出我们的纠偏方法.我们的核心思路是运用中心化为估计函数纠偏，使得保持最优估计函数形式的同时，估计函数收敛到0的速度达到√n（n为样本量），从而保证对数似然比函数的渐近卡方性质。在第二章中，我们给出了纠偏平滑得分函数和纠偏经验似然两种方法，特别是后者，我们将其应用到更加复杂的情形-变量观测误差（errors-in-variables）模型。在经济，生物和医学等领域，errors-in-variables模型皆有广泛的实际应用。在Fuller（1987）和Pepe and Fleming（1991）等学者的研究中，观测误差的变量被假定为有参数的结构，例如 X=X+ε，X=βTX+ε，其中，X为有效数据，X为观测数据。在本文中，我们应用了中心化的纠偏方法，因而不需要假定X和X之间的参数结构，而X=f（X）+ε的非参结构保证了应用中的灵活性和实用性.无论plug-in的是参数估计还是非参估计，我们最终都可以给出渐近卡方分布，因而我们的纠偏是适应于plug-in方法的。 在第三章和第四章中，我们引入的模型-适应性是当前非参置信限领域的研究热点。在非参模型中，当我们已知回归函数属于连续函数空间中的某个子空间，而且子空间的划分与回归函数的平滑性紧密相关，我们希望得到的回归函数的置信限的面积（体积）选择随着子空间的不同选择而自动调整，这就是模型-适应性的简单解释。Li（1989）为适应性非参置信球直径的阶数给出了下界，还有Barand（2004）、Wasserman（2005）、Hoffmann and Lepski（2002）等学者的研究为本文的工作搭建了良好的理论平台.现存的适应性置信限的构造都集中于置信球的形式，即分别构造相互独立的球心和直径，显然置信球的形状与实际观测的数据无关，即不具有数据-适应性的性质.在本文中，我们将具有数据-适应性的经验似然方法引入模型-适应性置信限的研究，使得构造出的置信限的形状决定于观测数据，同时置信限的平均直径以最优的速率适应于选定的模型子空间，因而我们给出的置信限具有模型-数据-适应性的性质。而且我们把模型-数据-适应性置信限的构造方法应用于一般的非参模型和变系数模型，最后的数据模拟也展现出了在样本量足够大、子空间很小的情况下对比于其他方法的优势.

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第一章绪论

§1.1适应性置信域

§1.2经验似然

§1.2.1随机向量的

§1.2.2基于似然的估计方程

§1.2.3 EL的数据-适应性

第二章 单指标模型的置信域构造

§2.1引言

§2.2纠偏经验似然

§2.2.1方法及理论结果

§2.2.2模拟

§2.2.3定理证明

§2.3纠偏平滑得分函数

§2.3.1平滑得分函数

§2.3.2渐近性质

§2.3.3模拟

§2.3.4定理证明

第三章变系数模型中的“数据-模型-适应性”置信域

§3.1引言

§3.2模型以及经验似然

§3.3情形(Ⅰ)下的适应性置信域

§3.4情形(Ⅱ)下的适应性置信域

§3.5模拟

§3.6定理证明

第四章非参回归的适应性置信域

§4.1引言

§4.2模型以及经验似然置信域

§4.3模型-数据-适应性置信域

§4.4模拟

§4.5定理证明

参考文献

致谢

攻读博士学位期间完成论文情况

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