非线性数学期望，模糊下的最优停时原理及其在金融中的应用

摘要

通过对期望效应理论的研究,Peng(1997)由非线性的倒向随机微分方程引入了一类非线性期望,g-期望和条件g-期望.近年来,人们越来越认识到了g-期望的强大的应用意义.g-期望的提出不但有着非常重要的非线性数学分析意义也有着广泛的实践应用意义.
　　 目前已有大量的文献针对g-期望和g-鞅的不等式进行了研究.比如:Chen andPeng(2000)提出了一般g-鞅意义下的下穿不等式,为研究g-鞅意义下的收敛性质提供了一个有力的工具.Chen et al(2003)给出了对所有凸函数成立的g-期望下的.Jensen不等式；紧接着Jiang(2005)得出了更一般的g-期望下的Jensen不等式.Wang(2009)研究了g-鞅的最大不等式.我们知道Lenglart控制不等式在半鞅理论和随机分析中发挥着重要的应用.在论文的第一章,我们主要考虑g-期望下的Lenglart控制不等式是否仍然成立或在什么样的条件下g-期望下的Lenglart控制不等式成立?本章对此问题的研究主要动机来源于为求解g-鞅框架下的渐进性质的证明.针对以上问题,在第一章我们将给出肯定的回答.g-期望下的Lenglart控制不等式的结果为我们研究g-鞅(g-期望)框架下的渐进性质提供了一个强有力的工具.
　　 通俗来说,最优停时间题就是寻找能够达到最大化期望收益或最小化期望损失的最好停止时刻或决策.最优停时原理在各个领域已有了广泛深入的应用.已有大量的文献针对经典的最优停时原理展开了研究,比如Karatzas and Shreve(1998),()ksendal(1998),Peskir and Shiryaev(2006).
　　 然而在某些领域的应用,比如经济金融市场,由于市场中存在大量的模糊事件,Chenand Epstein(2002),Gilboa and Schmeidler(1989)已经指出我们经典的风险为基础的模型在市场中往往是失效的.通过Ellsberg悖论,我们认识到模糊存在的重要性是不能被忽视的,并且在投资决策中,它至少起着与风险同等重要的作用.
　　 Riedel(2009)研究了离散时间框架下的多元先验偏好下的最优停时间题,该论文发表在国际顶级期刊Econometrica.受Riedel(2009)启发,在第二章我们发展对应于Piedel(2009)的连续框架下的模糊最优停时原理.该原理利用g-期望来研究我们一般框架下的模糊.我们的目的是在一个充分一般的框架下来研究最优停时,并且我们的框架包含了已有的一些模糊下的连续模型.在连续的框架下我们需要克服更多的技术困难,该框架也有着更广的应用意义.第二章提出的模糊下连续时间最优停时理论为决策者处理各种时间上的最佳策略问题提供了更丰富的洞察力和更强大的工具.
　　 在马尔科夫框架下具体求解最优停时间题时,比如美式期权,我们一般是把我们的问题转化为求解一个自由边界问题.在第三章的模糊框架下,我们借助偏微分方程的粘性解来刻画我们的模糊下的值函数和最优停时.对应于模糊下的连续时间最优停时间题,我们得到一类新的自由边界问题.该结果可以被看做Riedal(2009)离散模型中递归方法的推广.在某些无穷时间水平下的应用实例中,我们给出了一些显示解.
　　 Royer(2006)引入了一类新的g-期望,该期望是通过由布朗运动和泊松随机测度共同驱动的倒向随机微分方程定义的.在第四章,由Briand et al(2000),Jiang(2005a,2009)工作的启发,我们对应研究新的g-期望和生成元g的性质,并得到新的表示定理和逆比较定理；此外我们还给出了由新的g-期望控制的概率测度集的刻画.
　　 以下是本文的结构和主要结论.
　　 第一章:我们研究在满足次可加条件下和不满足此条件下的Lenglart控制不等式的具体形式.
　　 定理1.2.4(次可加条件下的Lenglart控制不等式)在给定条件(H2),(H3)和(H4)下,已知càdlàG适应过程Y在g-期望意义下被一个增过程K L-控制.对()∈,δ>0和()()∈S,那么
　　 定理1.3.1.(不满足次可加条件下的Lenglart控制不等式)假设càdlàg适应过程Y在g-期望意义下被一个增过程K L-控制,其中g只满足条件(H２)-(H３).对()∈,δ>0,()∈S,则
　　 第二章:在本章我引入模糊下的连续时间框架下的最优停时原理.
　　 在第二章中本文主要有三个工作.首先,本文提出一个可行的理论框架.在该框架下本文详细刻画了所求停时间题的值过程,并研究了最优停时间题关于模糊程度的最优律.
　　 以下定理是对值过程{Vt}ο≤t≤т的一个修正下的刻画:
　　 定理2.2.17(Snell包络)在g-期望意义下,{Vt｝ο≤t≤т是过程｛Xt｝ο≤t≤т的Snell包络.并且过程{Vt｝ο≤t≤т存在一个RCLL修正{Vto}o≤t≤т.该过程具有性质VT=VTO,a.s.,T∈S.
　　 以下的两个结果是来刻画最优停时.第一个结果是关于g-鞅性质的刻画；而第二个结果是依赖于值过程的描述.
　　 定理2.2.18以下的两个命题是等价的:
　　 (ⅰ).停时T*是最优的,i.e.,εg[XT*]=Voo=supρ∈sεg[Xρ]；
　　 (ⅱ).存在停时T*∈S满足VTo=XT*a.8.成立,并且过程{VtoΛT*｝o≤t≤т是一个g-鞅.
　　 定理2.2.19假设εg[supo≤t≤т Xt]<∞,且{Xt}o≤t≤т具有连续的路径.则是一个最优停时.
　　 其次,当风险厌恶或者模糊厌恶程度改变时,我们可以进行比较我们的停时大小.我们指出越足风险厌恶或越是模糊厌恶的客户越早进行交易.
　　 定理2.2.20(模糊最优律1)给定{ct}o≤t≤т,两个生成元g1=g1(c,y,z,w,t),g2=g2(c,y,z,w,t),满足g1≤g2,a.e.,对任意的(y,z,w,t)∈R X Rd×Ω×[O,т].则Tgl≥Tg2,a.s.,其中Tg1,Tg2分别是对应于g1,g2,的最优停时.
　　 定理2.2.21(模糊最优律2)给定生成元序列{gn｝∞n=1和g,且满足9n↓g在以下意义下
　　 则Tgn→Tg,a.s.,其中Tgn和Tg分别是关于{gn｝∞n=1和g的最优停时.定理2.2.22对于停时间题(２.２８),我们有Tg,u≥Tg,U2,a.s.,其中Tg,U和Tg,U2是对应于U和U2的最优停时.
　　 再次,我们给出了具有有界终端时间的与随机终端时间的最优停时值过程之间的关系.
　　 定理2.2.23对生成元g满足本文给定的条件下,则有
　　 第三章:在马尔科夫的框架下,我们对最优停时间题的值函数进行了更具体的刻画并得到新型的自由边界问题.
　　 首先,我们引入一个viscosity smooth-fit条件:命题3.2.3(Viscosity Smooth-fit)对任意的正则点(t,x,c)∈(),我们有粘性解意义下的表示具体刻画为:
　　 其中次(上)微分的集合定义为
　　 作为重要的结果之一,我们引入一个抛物型的自由边界问题来替代解决带确定终端时刻的最优停时间题:
　　 定理3.2.4(抛物型的自由边界)假设存在一个连续函数Ф=Ф(t,x,c)∈[о,т]×瞅X C和一个带正则边界点的开集合()={(t,x,c)∈[O,T)×RPx C:Ф(t,x,c)>Ф(t,x)}使得(Ф,())是如下自由边界问题的一个唯一(粘性)解:并且离开()的首逸时()是一个最优停时.
　　 我们同时也有求解随机终端时刻最优停时间题的椭圆型自由边界问题:
　　 定理3.2.5(椭圆型自由边界)假设我们可以找到一个连续函数Ф=Ф(x,c)∈Rp×C和包含正则点的开集()∈Rp X Rl使得(Ф,())是如下自由边界问题的有界连续(粘性)解:
　　 其中g满足和定理2.2.23相同的假设条件.()是离开集合()的首逸时并且满足P(()<∞)=1.则
　　 停时()是最优的.
　　 作为本章定理的应用,我们列举两个例子:
　　 命题3.3.1(模糊下的最优投资时间)给定所求的价值函数
　　 其中x0=σ2I(1-π1)π2/σ2(1-π1)(π2-1)-2θ.此外,最优停时T*是项目资产价值达到阈值x0的首中时,其中π1,π2为
　　 命题3.3.2(模糊下的最优投人或撤出)对于下列最优停时间题的值函数
　　 那么我们可以得到最优投入或撤出策略的值函数为
　　 其中X0为x0=λIπ1/π1-1.最优撤出时间为资产价值{St｝t≥o达到阀值x0的首中时.参数π1,π2为
　　 第四章:本章我们得到一类新的生成元函数g的表示定理,并且给出了由新型g-期望控制的概率集合的一个刻画.
　　 我们引入生成元g的一个表示定理:
　　 定理4.2.1对每一个(t,x,y,q)∈[O,T[xRnxRxRn,生成元g满足假设(R2)-(R5),1≤P≤2,则
　　 定理4.2.4假设生成元g是独立于y的并且满足条件(R1),(R3)-(R5),那么我们可以得到S1=S2,其中

目录

文摘

英文文摘

第一章 g-期望下的Lenglart控制不等式

§1.1引言与预备知识

§1.1.1引言

§1.1.2预备知识

§1.2次可加条件下g-期望下的Lenglaxt控制不等式

§1.3一般条件下的Lenglaxt控制不等式

第二章 模糊下的最优停时原理

§2.1引言

§2.2 g-期望下的最优停时原理

§2.2.1连续时间框架

§2.2.2一些重要的技术结果

§2.2.3值过程的刻画

§2.2.4模糊和停时律

§2.2.5风险厌恶情形

§2.2.6无穷时刻的情况

§2.3注释和扩充

§2.3.1模糊和模糊厌恶

§2.3.2风险度量下的最优停时

第三章 最优停时在马尔科夫框架下的应用

§3.1引言和预备知识

§3.1.1引言

§3.1.2预备知识

§3.2模糊下的自由边界问题

§3.3应用

§3.3.1模糊下的投资时间决策

§3.3.2模糊下的最优投入/撤出问题

§3.3.3美式看跌期权

§3.3.4标的资产带跳的美式期权

第四章 一类g-期望及其控制的概率族性质的刻画

§4.1引言和预备知识

§4.1.1引言

§4.1.2预备知识

§4.2一类g-期望的刻画

§4.2.1 g-期望和它的生成元g的关系

§4.2.2 g-期望控制的概率测度族

参考文献

攻读学位期间发表的论文

致谢

学位论文及答辩情况表