有限维和无限维空间中的g-Levy过程及其相关问题

摘要

Peng在[36]中，通过一类非线性偏微分方程，称作G-热方程，首次引入了有限维空间下的G-布朗运动和G-期望。从那时起一直到现在，有关G-期望的很多方面都得到了一些研究成果:Denis-Hu-Peng[15]和HuM.-Peng[24]证明了G-期望允许一个关于弱紧的概率测度族的表示;Gao[19]和Gao-Jiang[20]分别研究了由G-布朗运动驱动的随机微分方程的路径性质和大偏差原理;Soner-Touzi-Zhang[45]，HuY.-Peng[25]以及Peng-Song-Zhang[40]研究了G-鞅的表示定理，等等.G-期望这一概念已经因为其在众多方面的应用，特别是在解决不确定性波动率的经济和金融问题以及高维全非线性偏微分方程的数值方法中的应用而得到越来越多的重视.
　　 在经典理论中，我们都知道Lévy过程不仅保持了独立平稳增量的性质，又具有非连续轨道，所以它是布朗运动的推广，它一方面足够简单，所以可供我们研究，同时对应用来说又足够丰富，或者说至少可以被用作构造更符合实际的模型的基础.HuM.-Peng[23]引入了有限维G-Lévy过程，并研究出它们的相关分布满足一类新型的非线性积分偏微分方程.
　　 这篇博士论文重点研究了有限维和无限维空间中的G-Lévy过程及其相关问题.
　　 这篇博士论文共由三个章节组成，其主要内容如下:
　　 第一章:我们主要关心的是对应于这类新型随机过程，也就是G-Lévy过程的次线性期望EG[·]的表示问题.我们证明了存在一个弱紧的概率族(P)，使得EG[·]可以表示成关于它定义的上期望，还进一步给出了空间L1G(Ω)的一个刻画.另外，我们还得到了一个关于判定随机过程是否存在左极右连修正的推广了的Kolmogorov-Chentsov准则。
　　 Denis-Hu-Peng[15]和HuM.-Peng[24]证明了对应于G-布朗运动的次线性期望，即G-期望，可以表示成一列相对紧的概率测度的“点点的”最大值.因为G-布朗运动是G-Lévy过程的一类特殊情形，所以一个很自然的问题是，对应于G-Lévy过程的次线性期望，我们记作EG[·]，是否也存在着一个类似的表示？受到Denis-Hu-Peng[15]和Hu-Peng[24]中方法的启发，我们在这一章中，对这个问题给出了一个肯定的答案.
　　 在第一章中，我们研究的状态空间是Ω=D([0，∞)，Rd)而不再是[24]中的C([0，∞)，Rd），其中D([0，∞)，Rd)表示[0,∞）上所有Rd-值的左极右连函数.于是Ω在给定的Skorohod距离d°下是一个Polish空间.令(Bt)t≥0表示对应于次线性期望(E)的G-Lévy过程.对任意T＞0，令Lip(ΩT)和Lip(Ω)分别表示如下的随机变量空间Lip（ΩT）:={(φ)(Bt1∧T，Bt2∧T，…，Btn∧T):n∈N，t1，t2，…，tn∈[0，∞），(φ)∈Cb，Lip(Rd×n)};Lip(Ω):={(φ)(Bt1，Bt2，…，Btn):n∈N，t1，t2，…，tn∈[0，∞），(φ)∈Cb，Lip(Rd×n)}.然后对p≥1，令LpG（ΩT）(相对地，LpG(Ω))表示Lip(ΩT)(相对地，Lip(Ω))在Banach范数‖·‖p:=(E)[|·|p]1/p下的完备化空间.
　　 令(Ω)=（Rd）[0，∞）表示所有Rd-值函数（(ω)t）t≥0构成的空间，令（(B)t）t≥0表示相应的点则过程.空间Lip((Ω))和Lip((Ω)T)的定义和Lip(ΩT)和Lip(Ω)相近。于是我们可以构造一个((Ω)，Lip((Ω)))上的次线性期望(E)，使得（(B)t((ω))）t≥0也是一个G-Lévy过程.
　　 首先，基于[39]中介绍的次线性期望的基本表示，我们可以找到一个((Ω)，(B)((Ω))上的概率族(B)e，使得有(E)[X]=maxQ∈(B)eEQ[X]，对所有的X∈Lip((Ω))成立.然后我们给出了一个在容度下判定随机过程是否存在左极右连修正的推广了的Kolmogorov-Chentsov准则:
　　 定理1.3.10(Kolmogorov-Chentsov准则)令(Xt)t∈[0，1]是一个实值随机过程，并且满足对所有t∈[0，1]，Xt属于L1((Ω))，该空间由上期望E决定.如果满足下边的条件:
　　 (i)(Xt)t∈[0，1]是可分的且对任意的t∈[0，1]，都存在a＞0，使得lims→tE[|Xs-Xt|a]=0成立;
　　 (ii)存在某些C,r＞0，p,q≥0满足p+q＞0，对所有0≤s≤u≤t≤1，使得E|Xt-Xu|p|Xu-Xs|q]≤C|t-s|1+r，成立，那么它存在一个左极右连修正。
　　 我们改进了Jacod和Shiryaev在[29]中介绍的一个判断胎紧的准则，并得到了这一章中的一个主要结果:
　　 定理1.6.4（判断相对紧性的Kolmogorov-Chentsov准则）令(B)是D0([0，T]，R)上所有概率测度构成集合的任意子集，并令E表示与(B)对应的上期望。如果下边的条件成立:
　　 (i)(E)a＞0，使得E[|Xt-Xs|]≤C|t-s|a，(A)t，s∈[0,T];
　　 (ii)E[|Xt-Xu|p[Xu-Xs|q]≤C|t-s|1+r，对某些C，r＞0，p，q≥0满足p+q＞0，和0≤s≤u≤t≤T都成立，则(B)是相对紧的.
　　 定理1.3.13对任意单调次线性函数Gx[f(·)]:Rd→R，其中f∈C3b（Rd）且有f(0)=0，令EG表示其对应的(Ω，Lip(Ω))上的次线性期望.那么存在(Ω，Lip(Ω))上一个相对紧的概率测度族(B)1使得有EG[X]=maxEp[X],(A)X∈Lip(Ω).其中，(B)1:={Qo(B)-1:Q∈(B)e}，而(B)是(B)的左极右连修正.
　　 作为这一章的第二个主要部分，我们利用最优随机控制的方法构造了一列具体的具有相对弱紧性的概率测度来对EG进行表示.
　　 性质1.4.4EG[(φ)（Xt1，Xt2-Xt1,…Xtn-Xtn-1）]=supθ∈A(θ)0,(∞)[(φ)（B0,θt1，Bt1,θt2,…，Btn-1,θtn)]=supθ∈A(θ∞)EPθ[(φ)（B0t1，Bt1t2，…，Btn-1tn）]，其中Pθ是B0,θt的分布函数，t≥0，对θ∈A(θ)0∞，其中A(θ)0∞:={θ=（θc，θd）=（1θc，2θc，θd）:θc是(θ)c-值F-适应的，θd是(θ)d-值F-可料的}且(θ)=((θ)c，(θ)d)=(1(θ)c，2(θ)c，(θ)d)，是Rd×3d中一给定有界闭子集.
　　 特别需要注意的是，分别与G-布朗运动和G-Lévy过程相关的函数空间是不同的，这一区别主要的原因是研究二者的状态空间的不同，这使得在我们的情形下，有Lip(Ω)(∈)Cb(Ω).然而我们仍然可以给出下边的结论:
　　 性质1.5.2对任意X∈Lip(Ω)和ε＞0，存在着Y∈Cb(Ω)使得EG[|X-Y|]＜ε.因此，我们可以进一步得到L1G(Ω)(∈)L1c.最终，我们可以在L1G(Ω)上给出如下的次线性期望EG的表示定理:
　　 定理1.5.4对任意X∈L1G(Ω)，我们有EG[X]=E(B)[X]=E(B)1[X].其中，(B)是(B)1在弱收敛拓扑下的闭包.
　　 第二章:我们研究了具有有界变差路径的G-Lévy过程的大偏差原理，并且得到了其速率函数的表示.
　　 在经典理论中，构成每个Lévy过程的两块基石分别是布朗运动（扩散部分）和泊松过程（跳跃部分）.我们知道布朗运动具有连续路径但是泊松过程却没有.但另一方面，泊松过程是一个非减过程，因而在有限时间水平上具有有界变差路径.但是布朗运动在有限时间水平上却具有非有界变差路径。在G-期望框架下，Gao和Jiang在[20]中给出了一个关于G-布朗运动及其二次变差过程的联合大偏差原理，并进一步给出了由G-布朗运动驱动的随机微分方程的大偏差结果。这一章的主要目的是给出一类特殊的G-Lévy过程，也就是具有有界变差路径的G-Lévy过程的大偏差原理.
　　 令Dw，Dc和Ds分别表示在弱拓扑，一致拓扑和Skorohod拓扑d°下的空间D0([0,1]，Rd).对任意(ε)＞0，C(ε)(f)和S(ε)(f)分别表示f在Dc和Ds中的(ε)-邻域。令X为一拓扑空间.定义(∧)(x):=supλ{xλ-logEeλX(1)}为与E对应的对数矩生成函数（注意:为了简单起见，我们在这一整章中用E代替EG）。令区间（δ-，δ+）满足:对δ∈（δ-，δ+），有Eeδx（1)＜∞以及对δ∈[-∞，δ-）∪(δ，∞]，有EeδX(1)=∞.根据[35]中的思想，并结合第一章中的结果，特别是定理1.5.4，我们可以在这一章中得到下面几个主要结果:
　　 定理2.4.7如果|δ(±)|＞0，则I(x)是Ds中的优速率函数。令(Xε，ε＞0)表示一族从Ω到Polish空间(X，d)的可测映射.
　　 定理2.4.16令F表示M[0，1]中的弱闭子集，那么有limsupε→0εlog(C)(Xε∈F)≤-I(F).
　　 定理2.4.17令G表示M[0，1]中的弱开子集，那么有liminfε→0εlog(C)(Xε∈G)≥-I(G).
　　 定理2.3.5令(X(t))t≥0表示一个具有有界变差路径的G-Lévy过程并假定EeδX(1)＜∞，对任意的δ∈R.则((C)(εX(t/ε)|t∈[0，T]∈·），ε＞0）在Ds上满足大偏差原理，且其速度是λ(ε)=ε，其速率函数是I(·)，其中I(f)={∫T0(∧)(f'(t))dt，如果varf＜∞，f∈AC且有f(0)=0，∞，否则.其中AC表示绝对连续函数构成的空间。
　　 最后，作为G-Lévy过程的一个特殊情况，我们可个给出G-泊松过程的大偏差，以及如下表示的速率函数:I(f)={∫10(∧)(f'(t))dt，如果varf＜∞，f∈AC且有f(0)=0,∞，否则,其中，(∧)(x)={xlogx/μ2-x+μ2，x≥μ2，0，μ1≤x≤μ2，xlogx/μ1-x+μ1x≤μ1.可见G-泊松过程的速率函数不同于经典泊松过程的速率函数，原因是强度μ的不确定性，即0≤μ1≤μ≤μ2.
　　 第三章:我们首次引人了无限维空间中的G-Lévy过程，并建立了相应的Lévy-It(o)型积分，并且我们还引人了Ornstein-Uhlenbeck过程，并研究了它与一类新型的全非线性积分偏微分方程之间的关系.
　　 到目前为止，G-期望理论的研究到了很大程度的发展，但已知的大部分结果都是在有限维情形下得到的.所以如何将经典的无限维随机过程在次线性期望框架下得到推广就成了一个很有意思的问题。最近，无限维空间中的G-期望及关于G-布朗运动的随机计算方面的结果在[26]中被首次提出.这对推广有限维实值G-布朗运动起着基础重要的作用。而我们本章的目的是要研究无限维空间中的G-Lévy过程的一些基本问题。
　　 令H表示实值可分Hilbert空间，并备以内积<·，·>H和范数‖·‖H.令A是H上的线性稠定极大单调算子.假设存在H上一个有界线性正定自适应算子B，使得A*B在H上有界且<(A*B+c0B)x，x>≥0，对所有x∈H对某个c0≥0成立.这个条件被称为弱B-条件.然后我们定义空间H-1是H在范数‖x‖-1=‖B1/2x‖H下的完备化空间.H-1在内积-1=下是一个Hilbert空间.
　　 首先我们引入了如下一类新型的积分偏微分方程，{(e)tu-+G(Du,D2u,u)=0在(0,T)×H上;u(T,x)=(φ)(x).其中A:D(A)→H是C0-半群生成元且G:H×S(H)×UC1,2b((0，T)×H)→R如下定义:G(p，X，u)=sup(q,Q,(v))∈(Γ,Σ,(V)){+1/2Tr[QQ*X]+∫H(u(t，x+z)-u(t，x))(V)（dz）},我们给出了如下的结论:
　　 定理3.4.13（比较定理）令函数u∈BUC([0，T]×H-1)和v∈BUC([0，T]×H-1)分别是如上方程的粘性下解和粘性上解。假定假设(A1)-(A5)都成立，如果u(T，x)≤v(T，x)对所有x∈H都成立，则u≤v(即，u(t，·)≤v(t，·)对所有t＞0成立）。
　　 定理3.5.4(It(o)同调不等式)随机积分I:HM1,(d)G（0，T）→H1,(d)G(0，T)满足下边的不等式:(E)[‖∫T0Φ(t)dBdt‖H]≤(|||)Φ(|||)(d)T，即‖I‖(d)ΩT≤(|||)Φ(|||)(d)T.令（BT）t≥0是在可分Hilbert空间H中取值的G-Lévy过程。设Xt,xT=e-（T-t）Ax+∫Tte-(T-σ)AdBσ是由其定义的Ornstein-Uhlenbeck过程，于是我们有本章中如下的主要结果:
　　 定理3.6.5A是C0-半群的无限生成元，我们假定有弱-B条件成立。令Bt是一与次线性期望(E)对应的G-Lévy过程，Xt,xT是其对应的Ornstein-Uhlenbeck过程，则有u(φ)=u(t，x)=(E)[(φ)（Xt,xT)]是上述积分偏微分方程的粘性解:

目录

声明

摘要

第一章 与G-Lévy过程对应的次线性期望的表示定理及G-Lévy过程的轨道

§1．1 引言

§1．2 符号和预备知识

§1．3 与G-Lévy过程相关的次线性期望的上期望表示

§1．4 运用随机控制方法得到的EG的表示定理

§1．5 Lip(Ω)空间的刻画

§1．6 附录

第二章 具有有界变差路径的G-Lévy过程的大偏差原理

§2．1 引言

§2．2 符号和预备知识

§2．3 定义和一般结果

§2．4 辅助引理和定理

§2．5 定理证明

§2．6 对G-泊松过程的应用

第三章 无限维空间下的G-Lévy过程及其相关的偏微分方程

§3．1 引言

§3．2 符号和预备知识

§3．3 无限维空间中的G-Lévy过程

§3．3．1 无限维空间中的G-Lévy过程的定义

§3．3．2 无限维空间中的G-Lévy过程的刻画

§3．3．3 关于Gx的表示

§3．4 Hilbert空间中的积分偏微分方程的粘性解

§3．5 关于G-Lévy过程的随机积分

§3．5．1 关于连续部分Bc的随机积分的构造

§3．5．2 关于非连续部分Bd的随机积分的构造

§3．6 Ornstein-Uhlenbeck过程

参考文献

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致谢