生物组织传热的分数阶模型及其某些应用

摘要

本篇论文主要研究了生物组织传热的分数阶模型及其某些应用，由彼此相关而又相对独立的三章组成:第一章主要介绍了分数阶微积分的一些基本知识，几类特殊函数和几种积分变换;第二章研究了柱坐标下基于修正的Riemann-Liouville分数阶导数的生物组织传热模型，利用积分变换的方法求得其解析解，作图分析了各参数对解的影响;第三章作为第二章的延续，主要研究了球坐标下基于修正的Riemann-Liouville分数阶导数的生物组织传热模型，利用积分变换的方法求得其解析解并通过数值作图对解进行了分析。
　　第一章预备知识中，主要介绍了本论文所需要的理论知识，以及论文后边模型求解用到的数学工具，为下面两章的建立打下基础.在§1.1中，主要介绍了分数阶微积分的发展历程、发展领域，分数阶微积分的主要性质.§1.2中主要介绍了Bcsscl函数、Mittag-Lcfflcr函数等几类特殊函数及其性质.§1.3中，介绍了几种常用的积分变换:Laplace变换、有限Fourier正弦变换、有限Hankel变换。
　　在第二章中，我们用修正的Riemann-Liouville分数阶微分算子改进Pcnncs传热方程，得到柱坐标下生物组织传热的分数阶模型.§2.1中，主要介绍了生物组织传热学的背景及当前的研究状况.在§2.2中建立了分数阶组织传热的柱坐标方程ρc(Τ)α/α!Dtα+1θ+ρc(e)θ/(e)t+(Τ)α/α!wbcbDαtθ+wbcbθ=k/r(e)/(e)r(r(e)θ/(e)r)+Qr,0＜α≤1.应用Laplacc变换、有限Hankcl变换得到问题的解析解θ(r,t)=∞Σm=1R0(βm,r)/N(βm)[(Q)rl2/θrk-0l/θr(e)R0(βm,r)/(e)r|r=1]1/F∞Σn=01/n!(-β+β2/F)n×nΣj0Cjn(Fβ/β+βm2)jlαn+α-αj+n+1E(n)α,α-αj+n+2(-F-1lα).在§2.3中，通过数值作图的方式讨论了Τ=0和α=1的特殊情形，并讨论了各参数变化对温度函数的影响.在§2.4中，我们给出了本章的结论。
　　第三章在第二章的基础上讨论了球坐标下的生物组织传热问题.§3.1中建立了球坐标下生物组织传热的分数阶方程k1/r2(e)/(e)r（r2(e)H/(e)r）=（1+(Τ)α/α!Dαt）[ρc(e)H/(e)t-P]，0≤r≤α，0＜α≤1，通过变换我们将其化简为更容易求解的一维形式:k(e)2θ/(e)r2+Pr=ρc((Τ)α/α!Dα+1lθ+(e)θ/(e)t），0≤r≤α，0＜α≤1.通过Laplace变换、有限Fourier正弦变换得到问题的解析解θθ(r,t)=2∞Σn1(-1)n+1α![knπθa/a2+Pa/nπ/ρc(Τ)α∞Σm0(-k(nπ)2α!/a2ρc(Τ)α)m/m!tαm+α++m+1×E(m)α,α+m+2(-α!tα/(Τ)α)sinxπr/a。
　　§3.2中讨论了Τ=0和α=1的情形，并通过数值作图的方式讨论了各参数变量的改变对温度函数的影响.§3.3中给出了本章的结论。

目录

声明

摘要

符号说明

第一章 预备知识

§1．1 分数阶微积分简介

§1．2 几类特殊函数简介

§1．3 几类积分变换简介

第二章 柱坐标下基于修正的Riemann-Liouville分数阶导数的生物传热模型及其解析解

§2．1 引言

§2．2 分数阶模型的建立与求解

§2．3 结果与讨论

§2．4 结论

第三章 球坐标下基于修正的Riemann-Liouville分数阶导数的生物传热模型及其解析解

§3．1 分数阶模型的建立与求解

§3．2 结果与讨论

§3．3 结论

参考文献

致谢