一种锂电池分数阶变阶等效电路模型及其辨识方法

摘要

本发明公开了一种锂电池分数阶变阶等效电路模型及其辨识方法，包括运行时间电路及电池I-V特性电路，电池I-V特性电路中的电容采用变阶的分数阶电容。本发明将二阶RC电路模型推广到非整数阶，并基于最小二乘法辨识不同SOC处的模型参数和分数阶阶数，从而获得一个根据SOC变阶的分数阶等效电路模型。分数阶的引入实现了模型阶数的连续变化，使得模型更加稳定、动态性能更优、精度更高；分数阶的变阶实现了模型更多的自由度、更大的柔性和新意。由于未增加RC网络的个数，本发明的分数阶模型有效解决了模型准确性和实用性之间的矛盾，适用于电池的各种工况，具有较高的实用价值，为SOC的精确估计提供了一个精确且易实现的电池模型。

说明书

技术领域

本发明涉及一种锂电池分数阶变阶等效电路模型及其辨识方法。

背景技术

为了应对能源危机和环境污染，电动汽车应运而生并已成为全世界关注的焦点。车载动 力电池作为电动汽车的关键部件，其性能对整车的动力性、经济性和安全性至关重要，是制 约电动汽车规模发展的关键因素。锂电池具能量密度高、使用寿命长、性价比好和单体电压 高等优点，逐步成为混合动力汽车或纯电动汽车的动力源之一。精确的电池模型对车载动力 锂电池的合理设计和安全运行具有重要意义，是电池SOC(荷电状态)、SOH(健康状态)估 算方法的基础。

然而，建立一个精确且结构简单的电池模型绝非易事，这是因为锂电池内部的化学反应 涉及电能、化学能、热能的复杂转换，具有高度的非线性和不确定性。目前，常用的电池模 型按建模机理的不同可为以下五类：①电化学模型、②分析模型、③随机模型、④神经网络 模型和⑤等效电路模型。其中，等效电路模型因其简单直观的形式以及适宜于电气设计与仿 真等优点已成为被广泛运用的一种新模型。在等效电路模型中，二阶RC模型相比其他等效电 路模型物理意义清晰、模型参数辨识试验容易执行、参数辨识方法系统、模型精度较高，可 以更加准确、直观地模拟电池的动态特性。但是，二阶RC模型在电池充放电初期和末期，由 于模型阶数较低，存在较大的拟合误差，不能精确地模拟电池的动静态特性。增加RC的串联 阶数虽然可以提高电池模型的准确性，能更好的模拟动力电池的充放电特性，但是如果动力 电池模型的阶数过高，将不利于获取模型中的参数，并且也会大大增加模型的计算量，甚至 会导致系统震荡，所以另一方面也应该限制RC的阶数。因此，定结构等效电路模型难以描述 锂电池两端陡中间平的非线性电压特性，不能解决模型的准确性和实用性之间的矛盾。

为此，中国发明专利申请(申请号201410185885.7)和实用新型(专利号 ZL201420226360.9)提出了一种基于AIC准则的变阶RC等效电路模型，通过略微增加模型的 复杂度，能更加准确地描述锂电池两端陡中间平的非线性电压特性，误差在0.04V以内，有效 解决了模型复杂度和实用性之间的矛盾，具有较高的实用价值。但是，该模型是整数阶的电 池模型，模型的切换只能是整数阶的变化，因此模型阶数波动大，不符合自然界中渐变的发 展规律，因此模型精度受到很大的限制。事实上，电池内部电化学反应过程极其复杂，包括 导电离子转移、内部电化学反应、充放电迟滞效应以及浓差扩散效应等，表现出较强的非线 性特性，更适合用分数阶模型来模拟。对比整数阶模型，分数阶电池模型在设计上具有更多 的自由度、更大的柔性和新意。同时，它们的引入也增加了许多新的现象和规律，具有常规 整数阶电池模型无法实现的优越。

发明内容

为解决现有技术存在的不足，本发明公开了一种锂电池分数阶变阶等效电路模型及其辨 识方法，根据锂离子电池的电化学反应原理，传统二阶RC等效电路模型使用两个整数阶的RC 网络描述电池的极化效应和浓差效应，本发明将模型的两个整数阶RC网络推广到非整数阶 (分数阶)，并基于最小二乘法辨识不同SOC处的模型参数和阶次，从而获得了一个根据SOC 变阶的分数阶等效电路模型。分数阶的引入实现了模型阶数的连续变化，使得模型更加稳定、 动态性能更优、精度更高。由于增加了分数阶变阶参数，模型获得了更多的自由度、更大的 柔性和新意。该模型是在传统二阶RC模型的基础上实现的，并未增加模型RC网络的个数，有 效解决了模型精度和简便性之间的矛盾，具有较高的实用价值。

为实现上述目的，本发明的具体方案如下：

一种锂电池分数阶变阶等效电路模型，包括运行时间电路及电池I-V特性电路，所述运行 时间电路及电池I-V特性电路通过电流控制电流源及电压控制电压源进行信号传输；所述运行 时间电路包括电池的自放电电阻R_d及电容C_Q，电阻R_d与电容C_Q并联在电流控制电流源的两端， 电流控制电流源的一端接地；所述电池I-V特性电路的电压控制电压源的正极端与两个相并联 的支路的一端相连，负极端与电池模型的负极端相连，所述两个相并联的RC网络支路的每一 个支路均包括两个相串联的分数阶RC回路和一个内阻R_o，所述两个相并联的支路的另一端与 电池模型的正极端相连。

所述电池I-V特性电路中两个相并联的RC网络支路中，放电支路包括依次串联的二极管 D_d、分数阶电容FOE_1d与电阻R_1d组成的分数阶RC回路、分数阶电容FOE_2d与电阻R_2d组成的分 数阶RC回路及电阻R_od；

充电支路包括依次串联的反接二极管D_d、分数阶电容FOE_1c与电阻R_1c组成的分数阶RC回 路、分数阶电容FOE_2c与电阻R_2c组成的分数阶RC回路及电阻R_oc。

所述运行时间电路和I-V特性电路通过一个电流控制电流源及电压控制电压源建立联系， 当对电池进行充放电时，负载电流i_bat通过电流控制电流源对电容C_Q进行充放电，改变C_Q存 储的电量，表征电池SOC的变化，C_Q两端电压OCV也随之变化，I-V特性电路的受控电压源 OCV随SOC的变化而变化。

所述电容C_Q表示电池的可用容量，C_Q＝3600·C_Ah·f₁·f₂，其中，C_Ah为用安时为单位的电 池容量，f₁和f₂分别是电池循环寿命和温度的修正因子。

所述电流控制电流源的电流为电池的端电流i_bat，当电池进行充放电时负载电流i_bat通过 电流控制电流源对电容C_Q进行充放电，改变电容C_Q中存储的电量，从而表征电池SOC的变 化。

所述电流控制电流源的两端的电压为电池开路电压OCV。

两个相并联的RC网络支路分别是RC网络放电支路和RC网络充电支路，两个RC网络支路 中的电容均为分数阶电容。

所述RC网络放电支路分数阶元件FOE_1d和FOE_2d的阶数α，β随电池SOC状态不同而变化， 且满足0≤α_d，β_d≤1。当α_d，β_d＝0时，分数阶元件FOE等效为一电阻，当α_d，β_d＝1时，分数阶元 件FOE等效为一整数阶电容；当0<α_d，β_d<1时，分数阶元件FOE为一分数阶电容；

所述RC网络充电支路分数阶元件FOE_1c和FOE_2c的阶数α，β随电池SOC状态不同而变 化，且满足0≤α_c，β_c≤1。当α_c，β_c＝0时，分数阶元件FOE等效为一电阻，当α_c，β_c＝1时， 分数阶元件FOE等效为一整数阶电容；当0<α_c，β_c<1时，分数阶元件FOE为一分数阶电容。

一种锂电池分数阶变阶等效电路模型的辨识方法，包括以下步骤：

步骤一：写出锂电池的放电过程和静置状态的分数阶数学模型表达式；

步骤二：对锂电池进行恒流充放电，得到电池模型的可用容量C_Q和自放电电阻R_d；

步骤三：对锂电池进行脉冲放电测试，获取不同SOC处电池开始放电时的电池端电压的瞬 间下降值、放电结束后电池端电压的瞬间跃升值、放电电流以及电池端电压的零输入响应等 数据；

步骤四：根据步骤三获得的数据，基于最小二乘法辨识模型的参数和阶数；

步骤五：根据步骤四计算得到的电池模型参数计算不同SOC处的开路电压OCV、欧姆内阻 R_0d、电化学极化内阻R_1d、电化学极化分数阶电容FOE_1d、浓差极化内阻R_2d和浓差极化分数阶 电容FOE_2d；

步骤六：根据步骤五得到的模型参数，基于最小二乘法辨识开路电压OCV、欧姆内阻R_0d、 电化学极化内阻R_1d、电化学极化分数阶电容FOE_1d、浓差极化内阻R_2d和浓差极化分数阶电容 FOE_2d与SOC间的关系；

步骤七：根据步骤二至六获得的参数，在Matlab中搭建锂电池分数阶变阶等效电路模型。

放电过程中锂电池的端电压可表示为：

$U_{\mathrm{bat}}={\mathrm{OCV}}_d-i_{\mathrm{dis}}·R_{0d}-U_{1d}(0+)·(1-e^{-t^{\alpha }/{\tau }_{1d}})-U_{2d}(0+)·(1-e^{-t^{\beta }/{\tau }_{2d}})---\left(1\right)$

式中，U_bat为电池端电压；R_0d为欧姆内阻；OCV_d为放电开路电压；α，β为分数阶元件FOE_1d和FOE_2d的阶数，满足0<α，β≤1；i_dis为放电电流；τ_1d,τ_2d分别为两个RC网络的时间常数。

当α，β＝0时，分数阶元件FOE等效为一电阻，当α，β＝1时，分数阶元件FOE等效为一电 容；

U_1d(0+)和U_2d(0+)为电池放电结束瞬间两个分数阶RC支路的端电压初值，其值可表述 为：

U_1d(0+)＝i_dis·R_1d    (2)

U_2d(0+)＝i_dis·R_2d    (3)

电池放电结束后，电池的端电压可表示为：

$U_{\mathrm{bat}}={\mathrm{OCV}}_d-U_{1d}(0+)·(1-e^{-t^a/{\tau }_{1d}})-U_{2d}(0+)·(1-e^{-t^b/{\tau }_{2d}})---\left(4\right)$

式中，电池的极化电压和随着时间的增长而逐渐减小，当 t→∞时，和趋于0，此时电池端电压U_bat等于电池的开路电压 OCV。

所述步骤五的具体过程为：由于电池欧姆内阻的存在，当电池放电时，电池端电压会瞬 间跌落，其值记为ΔU₁；当电池停止放电时，电池端电压会瞬间跃升，其值记为ΔU₂，因此， 电池的欧姆内阻R₀可由下式得到：

$R_0=\frac{\Delta U_1+\Delta U_2}{2i_{\mathrm{bat}}}---\left(5\right)$

电化学极化内阻R_1d可由下式得到：

$R_{1d}=\frac{U_{1d}(0+)}{i_{\mathrm{dis}}}---\left(6\right)$

浓差极化内阻R_2d可由下式得到：

$R_{2d}=\frac{U_{2d}(0+)}{i_{\mathrm{dis}}}---\left(7\right)$

电化学极化分数阶电容FOE_1d可由下式得到：

${\mathrm{FOE}}_{1d}=\frac{{\tau }_{1d}}{R_{1d}}---\left(8\right)$

浓差极化分数阶电容FOE_2d可由下式得到：

${\mathrm{FOE}}_{2d}=\frac{{\tau }_{2d}}{R_{1d}}---\left(9\right)$

所述步骤六中：开路电压OCV与SOC存在非线性关系，具体关系式为：

$\mathrm{OCV}=a_0+a_1·\ln \mathrm{SOC}+a_2·\ln (1-\mathrm{SOC})+\frac{a_3}{\mathrm{SOC}}+a_4·\mathrm{SOC}---\left(10\right)$

式中，a₀-a₄为常数，由实验数据基于最小二乘法辨识得到。

电池欧姆内阻R_od与SOC的关系式为：

R_o(SOC)＝b₀·e^-SOC+b₁+b₂·SOC-b₃·SOC²+b₄·SOC³    (11)

式中，b₀-b₄为常数，由实验数据基于最小二乘法辨识得到。

电化学极化内阻R_1d与SOC的关系式为：

R_1d(SOC)＝c₀·e^-SOC+c₁+c₂·SOC-c₃·SOC²+c₄·SOC³    (12)

式中，c₀-c₄为常数，由实验数据基于最小二乘法辨识得到。

电化学极化分数阶电容FOE_1d与SOC的关系式为：

FOE_1d(SOC)＝d₀·SOC⁵+d₁·SOC⁴+d₂·SOC³+d₃·SOC²+d₄·SOC+d₅    (13)

式中，d₀-d₅为常数，由实验数据基于最小二乘法辨识得到。

浓差极化内阻R_2d与SOC的关系式为：

R_2d(SOC)＝e₀·e^-SOC+e₁+e₂·SOC-e₃·SOC²+e₄·SOC³    (14)

式中，e₀-e₄为常数，由实验数据基于最小二乘法辨识得到。

浓差极化分数阶电容FOE_2d与SOC的关系式为：

FOE_2d(SOC)＝f₀·SOC⁵+f₁·SOC⁴+f₂·SOC³+f₃·SOC²+f₄·SOC+f₅    (15)

式中，f₀-f₅为常数，由实验数据基于最小二乘法辨识得到。

电化学极化分数阶电容FOE_1d阶数与SOC的关系式为：

α(SOC)＝g₀·SOC⁴+g₁·SOC³+g₂·SOC²+g₃·SOC+g₄    (16)

式中，g₀-g₄为常数，由实验数据基于最小二乘法辨识得到。

浓差极化分数阶电容FOE_2d阶数与SOC的关系式为：

β(SOC)＝h₀·SOC⁴+h₁·SOC³+h₂·SOC²+h₃·SOC+h₄    (17)

式中，h₀-h₄为常数，由实验数据基于最小二乘法辨识得到。

本发明的有益效果：

1.将传统的二阶RC等效电路模型推广到分数阶，并基于最小二乘法辨识不同SOC处的模型 参数和阶次，获得了一个根据SOC变阶的分数阶等效电路模型；

2.锂电池因其特殊的材料和化学特性，展现出了分数阶动力学行为，用整数阶描述电池特 性其精度受到很大的限制，而釆用分数阶微积分描述那些本身带有分数阶特性的对象时，能 更好地描述对象的本质特性及其行为；

3.由于增加了分数阶阶数这一未知参数，模型获得了更多的自由度、更大的柔性和新意；

4.由于分数阶微积分具有一定的记忆功能，且更符合自然界普遍连续的朴素哲学观点，分 数阶变阶等效电路模型从而获得了更高的精度、更好的动态性能和稳定性；

5.对比与传统二阶RC模型，由于未增加RC网络的个数，本发明有效解决了模型准确性和 实用性之间的矛盾，具有较高的实用价值，并适用于电池的恒流充放电、脉冲充放电和UDDS 循环工况，为SOC的精确估计提供了一个精确且易实现的电池模型。

附图说明

图1为本发明锂电池分数阶变阶等效电路模型结构示意图，其中c标识表示充电，d标 识表示放电；

图2为本发明的脉冲充电下电池单体电压的响应过程图；

图3为本发明的脉冲放电下电池单体电压的响应过程图；

图4为本发明的变阶分数阶、整数阶和固定分数阶模型模拟脉冲放电后电池端电压的恢 复响应对比图，其中(a)为整体图，(b)为局部放大图；

图5为本发明的脉冲充电下开路电压OCV与SOC的关系图；

图6为本发明的脉冲充电下欧姆内阻R₀与SOC的关系图；

图7为本发明的脉冲充电下电化学极化内阻R_1c与SOC的关系图；

图8为本发明的脉冲充电下电化学极化分数阶电容FOE_1c与SOC的关系图；

图9为本发明的脉冲充电下浓差极化内阻R_2d与SOC的关系图；

图10为本发明的脉冲充电下浓差极化分数阶电容FOE_2c与SOC的关系图；

图11为本发明的脉冲充电下电化学极化分数阶电容FOE_1c阶数与SOC的关系图；

图12为本发明的脉冲充电下浓差极化分数阶电容FOE_2c阶数与SOC的关系图；

图13为本发明的脉冲放电下开路电压OCV与SOC的关系图；

图14为本发明的脉冲放电下欧姆内阻R₀与SOC的关系图；

图15为本发明的脉冲放电下电化学极化内阻R_1d与SOC的关系图；

图16为本发明的脉冲放电下电化学极化分数阶电容FOE_1d与SOC的关系图；

图17为本发明的脉冲放电下浓差极化内阻R_2d与SOC的关系图；

图18为本发明的脉冲放电下浓差极化分数阶电容FOE_2d与SOC的关系图；

图19为本发明的脉冲放电下电化学极化分数阶电容FOE_1d阶数与SOC的关系图；

图20为本发明的脉冲放电下浓差极化分数阶电容FOE_2d阶数与SOC的关系图；

图21为本发明的脉冲放电下变阶分数阶单体电池等效电路模型电压输出图；

图22为本发明的脉冲充电下变阶分数阶单体电池等效电路模型电压输出图；

图23为本发明的恒流放电下变阶分数阶单体电池等效电路模型电压输出图；

图24为本发明的恒流充电下变阶分数阶单体电池等效电路模型电压输出图。

具体实施方式：

下面结合附图对本发明进行详细说明：

搭建电池模型是指应用数学理论尽量全面地去描述实际电池的响应特性和内部特性。所 谓响应特性是指电池的端电压与负载电流的对应关系；内部特性是指电池的内部变量欧姆内 阻、极化内阻和极化电压与SOC、温度间的关系。

如图1所示为本发明公开的锂电池分数阶变阶等效电路模型，包括运行时间电路和I-V 特性电路，其中，I-V特性电路包括两路支路，每个支路包括两组一个分数阶电容FOE与一 个电阻并联组成的分数阶RC回路。所述运行时间电路包括电池的自放电电阻R_d、电容C_Q和 电流控制电流源电路，电阻R_d与电容C_Q并联在电流控制电流源的受控源两端，独立电源的 一端接地。

I-V特性电路包括欧姆内阻R₀、电化学极化内阻R₁、电化学极化分数阶电容FOE₁、浓差 极化内阻R₂、浓差极化分数阶电容FOE₂和电流控制电流源、电压控制电压源电路，其中：

电压控制电压源电路的受控源的正极连接两路，一路连接二极管D_d后连接电阻R_1d、电 阻R_2d、电阻R_od后连接电池模型的正极，一路反接二极管D_c后连接电阻R_1c、电阻R_2c、电阻 R_oc后连接电池模型的正极。分数阶电容FOE_1d并联在电阻R_1d的两端；分数阶电容FOE_1c并 联在电阻R_1c的两端；分数阶电容FOE_2d并联在电阻R_2d的两端；分数阶电容FOE_2c并联在电 阻R_2c的两端；电压控制电压源电路的受控源正、负极之间的电压为电池开路电压OCV。

运行时间电路和I-V特性电路通过一个流控电流源和一个压控电压源建立联系，当对电 池进行充放电时，负载电流i_bat通过流控电流源对电容C_Q进行充放电，改变C_Q存储的电量， 表征电池SOC的变化，C_Q两端电压OCV也随之变化，I-V特性电路的受控电压源OCV随SOC 的变化而变化。

电容C_Q表示电池的可用容量，C_Q＝3600·C_Ah·f₁·f₂，其中，C_Ah为用安时为单位的电池容 量，f₁和f₂分别是电池循环寿命和温度的修正因子。

电流控制电流源的受控源的电流为电池的端电流i_bat，当电池进行充放电时负载电流i_bat通过电流控制电流源对电容C_Q进行充放电，改变电容C_Q中存储的电量，从而表征电池SOC 的变化。

所述电流控制电流源的受控源两端的电压为电池开路电压OCV。

一种应用上述锂电池分数阶变阶等效电路模型的辨识方法，以电池放电为例，充电辨识 方法与放电相同，在此不再赘述。包括以下步骤：

步骤一：写出锂电池的放电过程和静置状态的分数阶数学模型表达式；

步骤二：对锂电池进行恒流充放电，得到电池模型的可用容量C_Q和自放电电阻R_d；

步骤三：对锂电池进行脉冲放电测试，获取不同SOC处电池开始放电时的电池端电压的瞬 间下降值、放电结束后电池端电压的瞬间跃升值、放电电流以及电池端电压的零输入响应等 数据；

步骤四：根据步骤三获得的数据，基于最小二乘法辨识模型的参数和阶数；

步骤五：根据步骤四计算得到的电池模型参数计算不同SOC处的开路电压OCV、欧姆内阻 R_0d、电化学极化内阻R_1d、电化学极化分数阶电容FOE_1d、浓差极化内阻R_2d和浓差极化分数阶 电容FOE_2d；

步骤六：根据步骤五得到的模型参数，基于最小二乘法辨识开路电压OCV、欧姆内阻R_0d、 电化学极化内阻R_1d、电化学极化分数阶电容FOE_1d、浓差极化内阻R_2d和浓差极化分数阶电容 FOE_2d与SOC间的关系；

步骤七：根据步骤二至六获得的参数，在Matlab中搭建锂电池分数阶变阶等效电路模型。

如图2所示为本发明的脉冲充电下电池单体电压的响应过程图；如图3所示为本发明的 脉冲放电下电池单体电压的响应过程图；脉冲放电过程中电池的端电压可表示为：

$U_{\mathrm{bat}}={\mathrm{OCV}}_d-i_{\mathrm{dis}}·R_{0d}-U_{1d}(0+)·(1-e^{-t^{\alpha }/{\tau }_{1d}})-U_{2d}(0+)·(1-e^{-t^{\beta }/{\tau }_{2d}})---\left(1\right)$

式中，U_bat为电池端电压；R_0d为欧姆内阻；OCV_d为放电开路电压；α，β为分数阶元件FOE_1d和FOE_2d的阶数，满足0<α，β≤1。当α，β＝0时，分数阶元件FOE等效为一电阻，当α，β＝1时， 分数阶元件FOE等效为一电容。U_1d(0+)和U_2d(0+)为电池放电结束瞬间两个分数阶RC支路的端 电压初值，其值可表述为：

U_1d(0+)＝i_dis·R_1d    (2)

U_2d(0+)＝i_dis·R_2d    (3)

电池放电结束后，电池的端电压可表示为：

$U_{\mathrm{bat}}={\mathrm{OCV}}_d-U_{1d}(0+)·(1-e^{-t^a/{\tau }_{1d}})-U_{2d}(0+)·(1-e^{-t^b/{\tau }_{2d}})---\left(4\right)$

式中，电池的极化电压和随着时间的增长而逐渐减小，当t→∞ 时，和趋于0，此时电池端电压U_bat等于电池的开路电压OCV。

所述步骤5的具体方法为：由于电池欧姆内阻的存在，当电池放电时，电池端电压会瞬 间跌落，其值记为ΔU₁；当电池停止放电时，电池端电压会瞬间跃升，其值记为ΔU₂。因此， 电池的欧姆内阻R₀可由下式得到：

$R_0=\frac{\Delta U_1+\Delta U_2}{2i_{\mathrm{bat}}}---\left(5\right)$

电化学极化内阻R_1d可由下式得到：

$R_{1d}=\frac{U_{1d}(0+)}{i_{\mathrm{dis}}}---\left(6\right)$

浓差极化内阻R_2d可由下式得到：

$R_{2d}=\frac{U_{2d}(0+)}{i_{\mathrm{dis}}}---\left(7\right)$

电化学极化分数阶电容FOE_1d可由下式得到：

${\mathrm{FOE}}_{1d}=\frac{{\tau }_{1d}}{R_{1d}}---\left(8\right)$

浓差极化分数阶电容FOE_2d可由下式得到：

${\mathrm{FOE}}_{2d}=\frac{{\tau }_{2d}}{R_{1d}}---\left(9\right)$

所述步骤6的具体方法为：开路电压OCV与SOC存在非线性关系，具体关系式为：

$\mathrm{OCV}=a_0+a_1·\ln \mathrm{SOC}+a_2·\ln (1-\mathrm{SOC})+\frac{a_3}{\mathrm{SOC}}+a_4·\mathrm{SOC}---\left(10\right)$

式中，a₀-a₄为常数，由实验数据基于最小二乘法辨识得到。

电池欧姆内阻R_od与SOC的关系式为：

R_o(SOC)＝b₀·e^-SOC+b₁+b₂·SOC-b₃·SOC²+b₄·SOC³    (11)

式中，b₀-b₄为常数，由实验数据基于最小二乘法辨识得到。

电化学极化内阻R_1d与SOC的关系式为：

R_1d(SOC)＝c₀·e^-SOC+c₁+c₂·SOC-c₃·SOC²+c₄·SOC³    (12)

式中，c₀-c₄为常数，由实验数据基于最小二乘法辨识得到。

电化学极化分数阶电容FOE_1d与SOC的关系式为：

FOE_1d(SOC)＝d₀·SOC⁵+d₁·SOC⁴+d₂·SOC³+d₃·SOC²+d₄·SOC+d₅    (13)

式中，d₀-d₅为常数，由实验数据基于最小二乘法辨识得到。

浓差极化内阻R_2d与SOC的关系式为：

R_2d(SOC)＝e₀·e^-SOC+e₁+e₂·SOC-e₃·SOC²+e₄·SOC³    (14)

式中，e₀-e₄为常数，由实验数据基于最小二乘法辨识得到。

浓差极化分数阶电容FOE_2d与SOC的关系式为：

FOE_2d(SOC)＝f₀·SOC⁵+f₁·SOC⁴+f₂·SOC³+f₃·SOC²+f₄·SOC+f₅    (15)

式中，f₀-f₅为常数，由实验数据基于最小二乘法辨识得到。

电化学极化分数阶电容FOE_1d阶数与SOC的关系式为：

α(SOC)＝g₀·SOC⁴+g₁·SOC³+g₂·SOC²+g₃·SOC+g₄    (16)

式中，g₀-g₄为常数，由实验数据基于最小二乘法辨识得到。

浓差极化分数阶电容FOE_2d阶数与SOC的关系式为：

β(SOC)＝h₀·SOC⁴+h₁·SOC³+h₂·SOC²+h₃·SOC+h₄    (17)

式中，h₀-h₄为常数，由实验数据基于最小二乘法辨识得到。

1.实验建立

针对海特10并16串圆柱型26650磷酸铁锂动力电池进行实验和仿真，标称容量为23Ah， 标称电压为51.2V。电池测试平台由先进的AVL电池模拟/测试柜、AVL InMotion硬件在环测试 平台、AVL控制柜、温控箱和以及AVL Lynx控制软件组成。实验记录电池的电压、电流和SOC 等工况值，采样频率设置为1Hz。

考虑到充放电参数的差异，将HPPC混合脉冲试验(Hybrid Pulse Power Characterization  Test，HPPC)中的混合脉冲试验改成单向脉冲试验，即动力电池脉冲充电试验和脉冲放电试 验。所谓脉冲放电，即在室温25度下，将充满电的电池以0.2C的电流放电至SOC为95％，停 止放电静置45min，接着以同样电流放电至SOC为90％，以此类推，直至SOC为0％时结束。脉 冲充电过程与脉冲放电过程类似，在此不再赘述。

2.模型阶数和参数辨识

如图4所示，为本发明的变阶分数阶、整数阶和固定分数阶模型模拟脉冲放电后电池端电 压的恢复响应对比图。从图中可以看出，分数阶变阶等效电路模型模拟精度最高。

(1)开路电压OCV模型

根据不同SOC(3.45％、5％、10％…90％、95％、98.89％)处测得的电池开路电压，可 以分别拟合得到电池的充电开路电压和放电开路电压OCV，如图5和图13所示。并根据式(10)， 应用Matlab cftool工具箱可辨识出参数a₀-a₄，如表1所示。

表1应用Matlab cftool工具箱拟合得到的开路电压OCV参数

参数 a₀a₁a₂a₃a₄充电辨识值 -1.015 1.915 -0.02047 -0.006009 0.03582 放电辨识值 2.588 -1.499 -0.007343 -0.01424 0.04207

(2)欧姆内阻R₀模型

根据不同SOC(3.45％、5％、10％…90％、95％、98.89％)处测得的电池欧姆内阻，可 以分别拟合得到电池的充电欧姆内阻和放电欧姆内阻R₀，如图6和图14所示。并根据式(11)， 应用Matlab cftool工具箱可辨识出参数b₀-b₄，如表2所示。

表2应用Matlab cftool工具箱拟合得到的欧姆内阻R₀参数

参数 b₀b₁b₂b₃b₄充电辨识值 0.5612 -0.5588 0.5546 -0.2568 0.05642 放电辨识值 -0.638 0.6397 -0.634 0.2967 -0.0663

(3)电化学极化内阻R₁模型

根据不同SOC(3.45％、5％、10％、15％…、95％)处测得的电池电化学极化内阻，可以 分别拟合得到的电池的充电电化学极化内阻和放电电化学极化内阻R₁，如图7和图15所示。并 根据式(12)，应用Matlab cftool工具箱可辨识出参数c₀-c₄，如表3所示。

表3应用Matlab cftool工具箱拟合得到的电化学极化内阻R₁参数

参数 c₀c₁c₂c₃c₄充电辨识值 3.891 -3.887 3.87 -1.835 0.4279 放电辨识值 10.26 -10.24 10.1 -4.607 0.9788

(4)电化学极化分数阶电容FOE₁模型

根据不同SOC(3.45％、5％、10％…90％、95％、98.89％)处测得的电化学极化分数阶 电容，可以分别拟合得到电池的充电电化学极化分数阶电容和放电电化学极化分数阶电容 FOE₁，如图8和图16所示。并根据式(13)，应用Matlab cftool工具箱可辨识出参数d₀-d₅，如 表4所示。

表4应用Matlab cftool工具箱拟合得到的电化学极化分数阶电容FOE₁参数

参数 d₀d₁d₂d₃d₄d₅充电辨识值 -3.775e⁶8.913e⁶-7.623e⁶2.976e⁶-5.542e⁵9.351e⁴放电辨识值 1.387e⁸-5.26e⁸7.008e⁸-4.023e⁸9.138e⁷-3.683e⁶

(5)浓差极化内阻R₂模型

根据不同SOC(3.45％、5％、10％、15％…、95％)处测得的电池浓差极化内阻，可以分 别拟合得到的电池的充电浓差极化内阻和放电浓差极化内阻R₂，如图9和图17所示。并根据式 (14)，应用Matlab cftool工具箱可辨识出参数e₀-e₄，如表5所示。

表5应用Matlab cftool工具箱拟合得到的浓差极化内阻R₂参数

参数 e₀e₁e₂e₃e₄充电辨识值 3.267 -3.265 3.271 -1.594 0.3971 放电辨识值 -4.582 4.584 -4.535 2.102 -0.4632

(6)浓差极化分数阶电容FOE₂模型

根据不同SOC(3.45％、5％、10％、15％…、95％)处测得的电池浓差极化分数阶电容， 可以分别拟合得到的电池的充电浓差极化分数阶电容和放电浓差极化分数阶电容FOE₂，如图 10和图18所示。并根据式(12)，应用Matlab cftool工具箱可辨识出参数f₀-f₅，如表6所示。

表6应用Matlab cftool工具箱拟合得到的浓差极化分数阶电容FOE₂参数

参数 f₀f₁f₂f₃f₄f₅充电辨识值 -1.842e⁵4.507e⁵-4.116e⁵1.704e⁵-2.857e⁴4.572e⁴放电辨识值 -4.529e⁵1.188e⁶-1.153e⁶5.072e⁵-9.649e⁴8.68e⁴

(7)电化学极化分数阶电容FOE₁阶数模型

根据不同SOC(3.45％、5％、10％、15％…、95％)处测得的电池电化学极化分数阶电容 阶数，可以分别拟合得到的电池的充电电化学极化分数阶电容FOE₁阶数和放电电化学极化分 数阶电容FOE₁阶数，如图11和图19所示。并根据式(16)，应用Matlab cftool工具箱可辨识出 参数g₀-g₄，如表7所示。

表7应用Matlabcftool工具箱拟合得到的电化学极化分数阶电容FOE₁阶数参数

参数 g₀g₁g₂g₃g₄充电辨识值 21.24 -46.26 33.74 -8.854 0.9861 放电辨识值 -15.45 27.57 -14.44 1.862 0.6595

(8)浓差极化分数阶电容FOE₂阶数模型

为据不同SOC(3.45％、5％、10％、15％…、95％)处测得的电池浓差极化分数阶电容阶 数，可以分别拟合得到的电池的充电浓差极化分数阶电容FOE₂阶数和放电浓差极化分数阶电 容FOE₂阶数，如图12和图20所示。并根据式(17)，应用Matlabcftool工具箱可辨识出参数h₀-h₄， 如表8所示。

表8应用Matlab cftool工具箱拟合得到的浓差极化分数阶电容FOE₂阶数参数

参数 h₀h₁h₂h₃h₄充电辨识值 2.752 -6.434 5.085 -1.319 0.4986 放电辨识值 4.813 -10.91 8.4 -2.468 0.6779

3.仿真及实验验证

为了验证电池模型的准确性，对电池进行恒流充放电和脉冲充放电实验。如图21-22所示， 为在脉冲充、放电下获得的电池端电压实验结果与模型仿真结果的对比。从图中可以看出， 本发明提出的分数阶变阶等效电路模型能较好地反应电池的脉冲充放电过程，说明该模型是 准确的。其中，在静止阶段产生的误差比在恒流充放电阶段产生的误差要大一些。

如图23-24所示，为在恒流充、放电下获得的电池端电压实验结果与模型仿真结果的对比。 从图中可以看出，在充、放电的初期和末期，模型误差较大；而在充、放电的中期，模型输 出值与实验值几乎重合。这与锂电池的两端陡中间平的非线性电压特性完全吻合。

综上所述，本发明公开的变阶分数阶等效电路模型所得到的仿真结果基本符合实验数 据，模型最大误差在0.05V以内，并且适用于电动汽车的脉冲充放电和恒流充放电等工况。证 明了变阶分数阶模型的有效性。

上述虽然结合附图对本发明的具体实施方式进行了描述，但并非对本发明保护范围的限 制，所属领域技术人员应该明白，在本发明的技术方案的基础上，本领域技术人员不需要付 出创造性劳动即可做出的各种修改或变形仍在本发明的保护范围以内。