分数阶微积分理论及其在生物组织传热中的某些应用

摘要

本论文主要研究了分数阶微积分理论及其在生物组织传热中的某些应用.由彼此相关又相互独立的三章组成:
　　 第一章主要是简明扼要的介绍了分数阶微积分理论的发展历史、定义和应用，并且文中用到的特殊函数的定义、性质和积分变换在第一章也作了相应的说明;
　　 第二章研究了复杂人体组织传热的时间分数阶模型的构造，方程解析解的求解和一些特殊情况的分析;
　　 第三章则研究了血管生成前期肿瘤细胞周围组织生物传热模型的建立，给出了方程的求解并讨论了一些特殊的情形.
　　 第一章是预备知识，简要介绍了本论文所需要的数学工具和方法，是以后各章的基础.在§1.1节中，简明介绍了分数阶微积分的历史、发展、概念和几个常用的分数阶算子，其中有Riemann-Liouville(R-L)型和Caputo型分数阶微积分算子的定义和常用的基本性质.在§1.2节中，介绍了本文用到的特殊函数，Mittag-Leffler函数的定义和重要公式.在§1.3节中，介绍了本文用到的积分变换，包括了有限Fourier正弦变换和分数阶微积分的拉普拉斯变换及其逆变换，它们的定义和重要公式在本节都作了相应的说明.§1.4节则简要概述了分数阶微积分理论在其他多个领域的应用.
　　 在第二章中，我们将分数阶微积分应用到经典Pennes生物传热问题，研究了复杂人体组织传热的时间分数阶模型.在§2.1节中，介绍了目前人体传热的研究，解释了复杂人体组织以及分数阶方程在复杂人体组织研究中的优势.在§2.2节中，我们建立了人体皮肤组织的分数阶传热方程k(e)2T/(e)x2=pcC0 D(n)tT+WbCbC0 D(a)t-1(T-Ta)，（0＜α≤1,0≤x≤L,t＞0）.(1)应用有限Fourier正弦变换和拉普拉斯变换及其相应的逆变换，得到了以广义Mittag-Leffler函数表示的上述问题的解析解T=Tα+2/L∞∑n=1∞∑m=0{1/m!Amtm[(0)(n,0）E(m)α,1+m-mα（-kn2π2/ρcL2tα）(2)+BtαE(m)α,α+1+m-mα（-kn2π2/ρcL2tα）]}sinn.πx/L.在§2.3节中，我们讨论了当α→0和α=1时解的情况.当α→0时，得到温度表达式为T=Tα+2/L∞∑n=1∞∑m=0∞∑j=0{1/m!Amtm[(0)(n，0)+B]Cjj+m（-kn2π2/ρcL2）j}sinnπx/L.当α=1时，得到的温度表达式为T=Tα+∞∑n=1{(0)(n,0)exp(At-kn2π/ρcL2t)(4)+B∞∑m=0∞∑j=0 Amtm+1/j!m!(j+m+1）(+kn2π2/ρcL2t)j}sinnπx/L.尤其在α=1时，我们更进一步证明了没有血液灌注项及Tα=Tb的情况下，本章的解与已有的整数阶的解是一致的.我们还通过数值作图的方法，展示了不同α值下，温度随时间的变换情况，并进行了相应的分析.§2.4中给出了本章的结论.
　　 第三章，我们在第二章的基础上，研究了血管前期肿瘤细胞周围组织传热的时间分数阶模型§3.1中，简要介绍了当前关于生物医学和肿瘤细胞传热研究的现状;§3.2中，我们建立了该问题的时间分数阶模型k(e)2T/(e)x2=pcC0DT.(0＜α≤1，a≤x≤ b,t＞0).(5)a我们通过积分变换的方法得到了该问题的解析解∞T=正+n弓g高芒笋[既（-λ：tα）万(λn，0)+tα既，α+1（-λ：tα）A(λn)].(6)n=1在§3.3中，我们对α→0和α=1的情况进行了计算.当α→0时，温度表达式为∞妒（λn,x）1T=乃+再[万(λn，0)+A(λn)].(7)n=1N(k)1+-II-当α=1时，温度表达式为T=T1+∞∑n=1φ(λn,x)/N(λn)([(θ)(λn,0)exp（-λ2nt）+A(λn)/λ2n（1-exp（-λ2nt）].(8)并且通过数值作图的方法给出了不同α值下以及肿瘤区域扩大时温度T关于时间t的关系图，并做了相应的分析.

目录

声明

摘要

符号说明

第一章 预备知识

§1．1 分数阶微积分(Fractional Calculus)简介

§1．2 特殊函数简介

§1．3 积分变换简介

§1．4 分数阶微积分理论的应用简介

第二章 复杂人体组织传热时间分数阶模型及其解

§2．1 引言

§2．2 模型及求解

§2．3 结果与讨论

§2．4 结论

第三章 血管前期肿瘤细胞周围组织传热时间分数阶模型及其解

§3．1 引言

§3．2 模型及求解

§3．3 结果与讨论

§3．4 结论

参考文献

致谢

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