分形理论及其在生物组织传热中的某些应用

摘要

本篇论文主要研究了分形理论及其在生物组织传热中的某些应用.由彼此相关而又独立的三章组成:第一章主要介绍了分形理论的发展史和应用简介、特殊函数和文中用到的积分变换;第二章研究了分形生物组织传热方程，对方程进行求解和一些特殊情况的讨论等;第三章则研究了分形生物组织传热的热播模型，建立了方程，得到了解析解，进行了数值作图和相应的分析.
　　 第一章是预备知识，简要介绍了本论文所需要的数学理论知识以及数学工具和方法，为以下各章的建立打下了基础.在§1.1中，简要介绍了分形理论的概念、发展情况.§1.2节，介绍了分形理论在物理化学、生物医学和自然地理等方面的重要应用.§1.3节，介绍了本论文用到的特殊函数，其中Bessel函数为大家所熟悉，只是提到了它的概念和两个常用的递推关系式.而Mittag-Leffler函数是近几年来应用比较广泛的函数，本节介绍了它的定义及重要公式.在§1.4节中，介绍了本文用到的两个积分变换，包括分数阶有限Hankel变换和Laplace变换，其中分数阶有限Hankel变换对于本论文后面两章方程的求解起了至关重要的作用.
　　 在第二章中，我们将分形理论应用到经典的Pennes生物传热问题，研究了分形生物组织传热方程.在§2.1节中，介绍了目前生物传热的发展情况以及前人做的关于经典传热方程的一些学术工作.在§2.2节，我们建立了分形生物组织传热方程k1/rdf-1(a)/(a)r(rdf-1-φ(a)T(r,t)/(a)r)+WbCb(Tb-T(r,t))+Qm=ρC(a)T(r,t)/(a)t.应用分数阶有限Hankel变换和Laplace变换及其相应的逆变换，得到了以指数函数表示的上述问题的解析解θ=2rμ∞∑n=1Jμ(λnr)/J2μ+1(λn)[(QmR2/Tc-T0)kJμ+1(λn)/λn-(1-Tb-T0/Tc-T0)(λnJ'μ(λn)))×exp(-(λ2n+WbCbR2)t)-1/-(λ2n+WbCbR2/k)+T0-Tb/Tc+T0Jμ+1(λn)/λnexp（-（λ2n+WbCbR2/k)t].在§2.3节，我们讨论了t→∞和df=2时的解的情况.当t→∞时，得到温升的表达式为θ=2rμ∞∑n=1Jμ(λnr)/J2μ+1(λn)[(QmR2/Tc-T0)kJμ+1(λn)/λn-(1-Tb-T0/Tc-T0)(λnJ'μ(λn)))×1/λ2n+WbCbR2/k].当df=2时，得到温升的表达式为θ=∞∑n=12J0(λnr)/λnJ1(λn)[QmR2/(Tc-T0)kexp(-(λ2n+WbCbR2/k)t)-1/-(λ2n+WbCbR2/k)-exp（-（λ2n+WbCbR2/k）t].我们还通过数值作图的方法，展示了不同分形维数、径向位置和血液灌注率对温升的影响.§2.4节给出了本章的结论.
　　 第三章中，我们在第二章的基础上研究了分形生物组织传热的热波情况.§3.1节介绍了当前生物传热振荡理论的现状以及发展情况.§3.2节中，我们给出了分形生物组织传热的热波方程(τ)(a)2T(r,t)/at2+(1+(τ)WbCb/ρC)(a)T(r,t)(a)t=α1/rdf-1(a)/(a)r(rdf-1-φ(a)T(r,t)/(a)r)+WbCb/ρC(Tb-T(r,t))+α/kQm.同样应用分数阶有限Hankel变换和Laplace变换及其相应的逆变换我们得到了以Mittag-Leffler函数表示的上述问题的解析解θ==2rμ/B2∞∑n=1∞∑m=1Jμ(λnr)/J2μ+1(λnB)(Q-B1-μλnJ'μ(λnB))×(-1)m/Γ(m+1)(λ2n+W)mt2m+2E(m)1,m+3（-2Dt）.§3.3节，我们讨论了经典的热波方程的解析解为θ=2/B2∞∑n=1∞∑m=0J0(λnr)/J21(λnB)(Q-BλnJ'0(λnB))×(-1)m/Γ(m+1)(λ2n+W)mt2m+2E(m)1,m+3+3（-2Dt）.并通过数值作图分析了血液灌注率和分形维数对温升振荡效果的影响.§3.4节，我们给出了本章的结论.

目录

声明

摘要

符号说明

第一章 预备知识

§1．1 分形理论的发展简介

§1．2 分形理论的应用简介

§1．3 特殊函数简介

§1．4 积分变换简介

第二章 分形生物组织传热方程及其解析解

§2．1 引言

§2．2 模型及求解

§2．3 结果与讨论

§2．4 结论

第三章 分形生物组织传热的热波模型

§3．1 引言

§3．2 模型及求解

§3．3 结果与讨论

§3．4 结论

参考文献

致谢

个人简历