辅助方程方法在非线性发展方程求解中的应用

摘要

基于辅助常微分方程求解非线性偏微分方程的方法，因其可获得丰富的多种函数类的解析解以及便于研究各个解析解的相互影响关系，同益受到学术界的普遍关注.本文运用辅助方程方法，借助几个常用的辅助方程，对所有常见类型的非线性发展方程（以个别典型方程为例），包括常系数的与变系数的，(1+1)维的和高维的，分别进行了求解，获得了多种函数类的新的解析解.尤其是，对同一非线性方程运用了多个辅助方程，提供了多种解法，得到了方程的若干类新的精确解，并以定理形式对相关结果进行了总结.同时，本文首次给出了对某些常系数非线性发展方程分类求解的思想，分类标准是基于对它们作行波变换后所具有的标准形式，利用辅助方程方法进行了统一求解，得到了仅依赖于方程系数的多种函数类的解析解，相关方法和结果以定理的形式给出，并以实例进行了验证.在第一章引言中主要阐述了孤立波概念的产生及其对求解非线性发展方程的影响，辅助方程方法的研究历史与现状以及本文的主要工作.第二章中给出了待求解的非线性发展方程，它们代表了所有的常见类型，包括常系数的与变系数的，(1+1)维的和高维的.在第三章中，给出了本文中使用的辅助方程的若干类型及其解，形成了辅助方程方法的具体应用步骤.第四、五章运用辅助方程方法分别求解了第二章中给出的常系数非线性发展方程与变系数非线性发展方程，得到了它们的若干种函数类的新的解析解.最后，在第六章中，提出了常系数非线性发展方程的新的分类求解思想，并运用辅助方程方法研究了行波变换后具有同一形式的一类常系数非线性发展方程，得到了该类方程的解的一般形式.

目录

文摘

英文文摘

第1章 引言

1.1 孤立子理论与非线性发展方程综述

1.2 辅助方程方法求解非线性发展方程的研究历史与现状

1.3 本文主要工作

第2章 待求解的非线性发展方程

2.1 常系数非线性发展方程

2.1.1 (1+1)维常系数非线性发展方程

2.1.2 高维常系数非线性发展方程

2.2 变系数非线性发展方程

2.2.1 (1+1)维变系数非线性发展方程

2.2.2 (2+1)维变系数非线性发展方程

第3章 辅助方程方法介绍

3.1 常用辅助方程及其解

3.2 辅助方程方法应用步骤

第4章 辅助方程方法求解常系数非线性发展方程

4.1 (1+1)维常系数非线性发展方程

4.2 高维常系数非线性发展方程

第5章 辅助方程方法求解变系数非线性发展方程

5.1 (1+1)维变系数非线性发展方程

5.2 (2+1)维变系数非线性发展方程

第6章 一类常系数非线性发展方程的统一求解

6.1 可化为标准形式(1)的非线性发展方程（组）举例

6.2 用辅助方程方法求解标准形式方程(1)

6.3 广义(3+1)维KP方程的解

结论

参考文献

攻读硕士学位期间发表的学术论文及科研工作

致谢