若干类生物系统的复杂性分析及控制问题研究

摘要

运用动力学方法研究生物种群的变化规律，建立反映这种变化规律的数学模型，借助于控制科学和系统科学的理论和方法，去揭示种群的结构特性，研究其发展规律并预测其变化趋势，已经成为一个重要的具有理论和现实意义的研究课题，它有利于人们对生物系统的有效控制，也为人们保护、改善和利用生物资源制定策略提供了科学依据。
　　生物动力系统是典型的非线性复杂系统，对于其动态特性及控制问题的研究已取得了一些成果，但还有许多问题尚未解决。本文利用非线性动力系统理论、分岔及混沌理论，针对食饵-捕食者种群模型、传染病模型、生物经济模型，研究了生物种群动力系统、生物经济系统的复杂动态特性，包括这些系统的稳定性、分岔、混沌和脉冲现象以及脉冲状态反馈控制。
　　全文主要工作包括如下几个方面:
　　(1)研究了一类带有季节性的SIR传染病系统的混沌控制问题。通过计算系统的Lyapunov指数表明该SIR模型具有混沌现象，意味着该模型对应疾病的爆发是不可预料的。因为已感染的人群密度可以通过观察或者医学诊断得到，所以可视为系统的输出，利用反馈跟踪技术跟踪输出到一个理想的目标，最终使已感染的人群密度渐近趋向于零，意味着该疾病的消失。生物意义可以看成是易感人群可通过注射疫苗或吃预防药物避免感染。数值仿真算例说明了反馈控制方法的有效性。
　　(2)讨论了具有Beddington-DeAngelis功能反应和连续收获的食饵-捕食者模型的脉冲状态反馈控制问题。通过构造两个Poincaré映射，得到了该系统的无天敌周期解和系统局部渐近稳定的条件。分岔图表明系统显示出一系列的复杂现象，包括倍周期分岔、层叠、周期窗和混沌带。利用仿真算例说明，和固定时刻脉冲控制相比，脉冲状态反馈控制可以更有效地使食饵种群密度保持在一个适当的阈值内。
　　(3)提出了对捕食者种群带有选择性捕获努力的食饵-捕食者模型，考虑到食饵保护，利用税收手段保护种群的过度捕获。给出了系统存在正解及有界的条件，基于食饵保护和税收的变化，讨论了系统在所有平衡点的局部稳定性。此外，基于Bendixson判据，研究了系统在正平衡点的全局稳定性，理论上有利于研究收获种群生态系统的共存和相互作用机理。通过利用最优控制方法中的极大值原理，推导出最优的税收策略以确保生物资源的可持续发展和商业捕获的繁荣。数值模拟算例说明了与理论分析的一致性。
　　（4)本文构建生物经济模型研究了一类具有孕时滞和捕获努力量的阶段结构食饵-捕食者模型的动态行为。首先，讨论了孕时滞对系统的稳定性起到了决定性的作用:在孕时滞为零时，系统在正平衡点附近是局部渐近稳定的;在孕时滞存在的情况下，随着孕时滞的增加并经过一个确定的阈值时，系统会出现Hoph分岔现象。然后，研究了捕获行为经济利益的变化对系统各种群密度以及系统稳定性的影响，通过每单位努力量的捕获总成本等于稳态水平下未来价格的折扣值，推导出带有税收的最优捕获策略。研究结果表明，税收是一种具有建设性的调控手段，它能够有效地限制捕获行为，从而抑制对生态资源的过度捕获并达到保护生态资源的目的。最后，仿真算例表明与理论分析结果是一致的。

目录

声明

摘要

第1章 绪论

1．1 生物动力系统的发展和研究现状

1．2 生物动力系统的控制问题及其研究现状

1．2．1 生物动力系统控制问题的分类介绍

1．2．2 具有阶段结构的食饵-捕食者系统及其研究现状

1．2．3 传染病动力系统及其研究现状

1．3 生物微分代数系统控制问题

1．3．1 生物经济微分代数系统的研究现状

1．3．2 混沌生物动力系统及其研究现状

1．4 本文的主要研究内容

第2章 带有季节性的一类传染病模型的混沌分析与控制

2．1 引言

2．2 预备知识

2．2．1 相关概念及引理

2．2．2 SEIR传染病模型的混沌现象

2．3 带有季节性波动的SIR传染病模型的混沌分析和控制

2．3．1 模型建立

2．3．2 混沌控制

2．3．3 数值模拟和结论

2．4 本章小结

第3章 带有功能性反应的捕食模型动态及脉冲状态反馈控制

3．1 引言

3．2 预备知识

3．2．1 非线性系统的分岔理论

3．2．2 有关Lyapunov指数的理论

3．3 一类Beddington-DeAngelis功能性反应的食饵-捕食者模型的动态特性

3．3．1 模型建立

3．3．2 构造Poincaré映射

3．3．3 无天敌时系统周期解的存在性和稳定性

3．3．4 数值仿真及对比结果

3．4 本章小结

第4章 一类带有食饵保护的收获捕食系统的分析与控制

4．1 引言

4．2 一类食饵保护的食饵-捕食者模型的最优控制

4．2．1 建立数学模型

4．2．2 平衡点附近的局部稳定性分析

4．2．3 正平衡点的全局稳定性分析

4．2．4 最优税收政策

4．2．5 仿真算例

4．3 本章小结

第5章 具有阶段结构的生物经济模型的动态行为

5．1 非线性微分代数系统理论的分析方法

5．2 具有阶段结构的微分代数生物经济模型的分岔及控制

5．2．1 系统的奇异诱导分岔和状态反馈控制

5．2．2 混沌系统的反馈跟踪控制

5．3 具有阶段结构及孕时滞的食饵-捕食者模型的动态行为

5．3．1 建立模型

5．3．2 系统的定性分析

5．3．3 孕时滞τ=0的情况

5．3．4 孕时滞τ＞0的情况

5．3．5 数值仿真

5．4 本章小结

第6章 结论与展望

参考文献

致谢

攻读博士学位期间主要成果