保费泛函的Choquet积分表示及相关问题研究

摘要

期望效用理论是经济金融研究领域的经典理论之一,但是它并不能描述该领域的所有问题.特别是Allais悖论和Ellsberg悖论的提出，人们更加清楚的认识到经典的线性期望效应理论的本质缺陷，因此许多经济学家开始寻求用非线性期望理论来描述经济金融领域的相关问题.值得指出的是,法国数学家Choquet在1953年首次提出了容度理论并通过下式给出了一个非线性算子：(此处公式省略)。
　　后来,人们称这类积分为Choquet积分. Choquet积分是一种非可加测度积分,在保险定价、金融和经济等领域中得到了非常广泛的应用.
　　许多经济学家和数学家已经在概率空间下对关于扭曲概率测度的Choquet积分进行了较多的研究,并得到了很多关于扭曲概率测度的性质.很自然的,在容度空间中，思考是否也存在某种扭曲容度问题？因此本文在容度空间下将探讨如下问题：
　　(1)当保费泛函H分别满足分布不变性、共单调可加性、规范性、单调性时,是否存在某种扭曲函数g,使得我们可以用关于扭曲容度的Choquet积分来表示保费泛函？
　　(2)当保费泛函H或者扭曲函数g满足什么性质时,扭曲容度gov具有逆二次交替性？同时对于一类特殊的容度空间,扭曲容度gov是否也满足二次交替、逆二次交替等性质？
　　围绕上述问题,将本文分成三章进行讨论,并得到相应的结果.
　　第一章介绍研究问题的背景、现状、研究内容及相关的预备知识；
　　第二章在概率空间下简单回顾经典的关于Choquet积分的保费定价公理；
　　第三章是本文的主要工作.在容度空间（Ω，F,v)下，证明了当保费泛函H分别满足分布不变性、共单调可加性、规范性、单调性时,存在一个伪扭曲函数g,使得可以用关于伪扭曲容度的Choquet积分来表示保费泛函（定理3.1);在此基础上得到了H可以通过扭曲容度表示成Choquet积分的充分必要条件是H具有分布单调性（定理3.2);还对扭曲容度gov的相关性质进行了进一步的研究,并得到了扭曲容度gov具有逆二次交替性;而且对于一类特殊的扭曲容度goV也证明了其满足二次交替、逆二次交替等性质；最后证明了非负随机变量X的关于右连续扭曲函数g的扭曲保费泛函H[X]可以被表示成关于随机变量X的分位数的加权平均.

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变量注释表

1 绪论

1.1研究背景及现状（Research Background and Status)

1.2研究内容（Research Contents)

1.3 预备知识 (Preliminaries )

2 Choquet积分表示

2.1 Choquet积分简介（Introduction about Choquet Integration)

2.2经典的保费定价公理（Axioms of Classical Premium Price)

3 容度空间上保费泛函的Choquet积分表示及相关

3.1容度空间上的 Choquet积分表示（Choquet Integral Repre- sentation on Capacity Space)

3.2容度空间上的扭曲容度的性质（Properties of The Distortion Capacity on Capacity Space)

3.2.1 —般容度空间上的扭曲容度的性质

3 .2 .2 —类特殊容度空间上的扭曲容度的性质

3.3扭曲保费泛函和右连续扭曲函数（Distortion premium func- tional and right continuous distortion functions)

3.4 小 结 (C onclusions)

参考文献

作者简历

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