若干非线性微分方程的精确解与可积性及达布变换的研究

摘要

本文基于几种不同的方法研究了若干类非线性微分方程的精确解.全文的主要工作如下： 第一章介绍了相关的研究背景及其意义. 第二章介绍了多样的Boussinesq系统的非局部对称.首先基于Painleve截断展开,构造了多样的Boussinesq系统的非局部对称、非自动Backlund变换和Schwarzian形式.为了得到多样的Boussinesq系统的非局部对称的对称群，引入新的因变量,通过求解该方程的初始值问题,从而得到了相应的有限群变换.其次,根据CRE的定义,验证了该方程为CRE 可解.通过假设合适的解，从而明确地给出了该方程的孤子与椭圆余弦波之间的相互作用解.最后,根据经典的Lie对称分析,求解出多样的Boussinesq系统的相似约化解. 第三章，首先基于Bell多项式和Hirota双线性方法得到了(2+1)-维广义的Konopelchenko-Dubrovsky-Kaup-Kupershmidt方程的双线性形式.在此基础上，进一步得到了该方程的孤子解.基于黎曼Theta函数的相关知识,获得了该方程的周期波解.并对周期波解和孤子解之间的关系做了图形分析,证明了在一定极限条件下,该方程的周期波解可以退化成孤子解. 第四章，应用第三章求解双线性的方法,获得了(2+1)-维 B-type Kadomtsev-Petviashvili方程和广义的(3+1)-维 Kadomtsev-Petviashvili方程的双线性形式.并在此基础上,选取合适的拓展的homoclinic测试函数,得到了这两个方程的呼吸波解和怪波解,并且进一步研究了呼吸波和怪波之间的关系，证明出在一定的限制条件下，呼吸波可退化成怪波. 第五章,首先在广义的耦合非线性薛定谔方程的Lax对的基础上,得到了该方程的达布变换.利用广义的耦合非线性薛定谔方程的达布变换,求出了该方程的孤子解、呼吸波解和怪波解.进一步,应用推广的达布变换,求出了耦合的Hirota方程的高阶怪波. 第六章对本文进行简单的总结和展望.