非线性微分方程的精确解与可积性及其保对称离散格式的研究

摘要

对非线性微分方程精确解和可积性的研究有助于对相应物理现象的科学解释和工程应用.
　　本文第二章和第三章重点介绍了Bell多项式和Riemann theta函数,并将它们推广到GKdV方程和（2+1)-维Boussinesq方程.得到了方程的双线性形式、双线性Backlund变换,Lax对和无穷守恒律.同时构造了它们的周期波解与孤子解,并详细地给出了渐近性分析,证明了在一定的极限条件下,其周期解可以退化为孤子解.在第四章,通过将李对称分析方法推广到親合Burger方程与高阶Beam方程,得到了方程的对称群和群不变解.在此基础上得到幂级数解，同时证明了解的收敛性.
　　对于方程可积性的研究可以看成是求解其精确解的前提和基础，因此本文又深入研究了非线性微分方程Painlevd可积性的检验.系统地介绍了WTC方法并将之推广,得到了串禹合Burger方程和变系数Bogoyavlenskii’s爆破孤子方程的Painleve可积性质的必要条件,并构造了它们的自Backlund变换.最后介绍了保对称离散算法,构造了高阶Beam方程、（2+1)-维diffusion-convection方程和广义KP-MKdV方程的保对称离散格式,且经验证,所有离散格式均继承了原方程的Lie对称.

目录

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致谢

1 绪论

1.1 研 究 背 景 及 意 义 （Research Background and Significance)

1.2 研 究 现 状 及 成 果 （Research Status and Achievements)

1.3 研 究 内 容 （Research Contents)

2 非线性微分方程的Backlund变换和无穷守恒律

2.1 引 言 (Introduction)

2.2 H irota双 线 性 方 法 和 多 维 二 元 B ell多 项 式 （Hirota Bilinear M ethod and M ultidim ensional Binary Bell Polynomials)

2.3 双 线 性 表 达 式 （B ilinear Representation)

2.4 双 线 性 Backlund 变 换 和 Lax 对 （Backlund Transformation and Lax Pairs)

2.5 无 穷 守 恒 律 （Infinite Conservation Laws)

3 非线性微分方程的周期波解和渐近分析

3.1 引 言 (Introduction)

3.2 微 分 方 程 的 孤 子 解 （Snoliton solution of difference equation)

3.3 微 分 方 程 的 周 期 解 （Periodic W ave Solutions of difference equation)

3 .4 微 分 方 程 周 期 波 解 的 渐 近 分 析 （Asymptotic Analysis of Periodic Wave Solutions for difference Equation)

4 非线性微分方程的李对称、精确解

4.1 引 言 (Introduction)

4.2 李 对 称 分 析 （Lie Symmetry Analysis)

4.3 对 称 约 化 和 精 确 解 （Sim ilarity Reductions and Exact Solu- tions)

4.4 精 确 幕 级 数 解 （The Exact Power Series Solutions)

4.5 幕 级 数 解 的 收 敛 性 分 析 （Convergence Analysis of the Power Series Solutions)

5 非线性微分方程的Painlev§分析、自Backlund变换

5.1 引 言 （Introduction)

5.2 Painleve测 试 (Painleve Test)

5.3 微 分 方 程 的 自 Backlund 变 换 （Auto-Backlund to nonlinear difference E quation)

6 非线性微分方程的保对称离散格式

6.1 引 言 (Introduction)

6.2 离 散 程 序 的 预 备 知 识 （Prelim inaries on Discretization Pro- cedure)

6 .3 高 阶 B e a m 方 程 (4.3)的 保 对 称 离 散 格 式 （Symmetry-preserving Discrete Scheme for the high-order beam Equa- tio n )

6.4 (2 + 1 )-维 diffusion-convection方 程 的 保 对 称 离 散 格式 (Symmetry-preserving Discrete Scheme for the (2+1)-dim ensional diffusion-convection E quation)

6 .5 广 义 K P-M K d V 方 程 的 保 对 称 离 散 格 式 （Sym m etry-preserving Discrete Scheme for the generalized KP-M KdV E quation)

7 总结与展望

7.1 本 文 总 结 （Conclusions)

7.2 展 望 （Prospects)

参考文献

作者简历

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