基于新预条件子作用下的迭代法的收敛性分析

摘要

随着科学技术发展，在对自然科学与社会科学中许多实际问题进行数值模拟时，稀疏线性代数方程组的求解是关键技术之一，比如在结构设计、油气资源开发、数值天气预报、数值风洞、模拟核爆等领域常利用偏微分方程作为数学模型，而偏微分方程离散化后便产生大型稀疏线性代数方程组.而使用经典的Jacobi、Gauss-Seidel、SOR和AOR方法解这些代数方程组往往收敛速度太慢，有时甚至不收敛，这就给科学活动带来极大的不便.因此，研究此类线性代数方程组的解法便成为许多作者感兴趣的课题。 近年来，线性方程组求解技术有了很快发展，特别是预条件技术的研究更是突飞猛进，预条件方法的关键是预条件矩阵P=I+S的选取.文献[1]-[6]是近年来许多学者在不同的系数矩阵和不同的预条件子作用下得到的理论.本文是在这些成果的基础上，提出了一个新的预条件子，并证明在这种新预条件子作用下，PAOR、PSOR、IMGS、PJ方法都好于经典迭代方法，并且进一步证明了当系数矩阵为M-矩阵时，IMGS方法要好于AOR方法和文献[1]中所提出的预条件子作用下的Gauss-Seidel方法，从而证明本文提出的新预条件子是合理高效的。 第一部分，引言。介绍代数线性方程组和预条件方法产生的背景，以及Jacobi、Gauss-Seidel、SOR和AOR迭代法的迭代矩阵。 第二部分是预备知识.这部分是为第四部分和第五部分做准备，主要是给出了一些重要的定义和引理，例如M-矩阵、比较矩阵、矩阵分裂等。 第三部分，已有相关结论及新预条件子的提出。这一部分主要是介绍前人在预条件方法上所作的一些工作，从而推出本文所给的新的预条件子的构造思路。 第四部分，主要结论。在假设系数矩阵A为非奇异和不可约M-矩阵的前提下，PAOR、PSOR、IMGS、PJ方法的收敛性，并得到了这些方法的收敛速度要快于经典的Jacobi、Gauss-Seidel、SOR和AOR迭代法的收敛速度，同时还给证明了IMGS方法要好于AOR方法和文献[1]中所提出的预条件子作用下的Gauss-Seidel方法，并且每一部分都用数值例子验证了所得的主要结论。 第五部分，小结。这部分主要是对文章的主要思想、方法和本文得到的主要结论做总结，对预条件方法的前景做了展望。

目录

文摘

英文文摘

声明

1引言

2预备知识

3已有的相关结论及新预条件子的提出

4主要结论

4.1PAOR方法收敛性比较

4.2数值例子

4.3IMGS方法的收敛性及比较定理

4.4数值例子

5小结

参考文献

致谢

硕士期间已发表论文