关于与自治二次多项式微分系统等价的非自治多项式微分系统

摘要

研究微分系统x′=X(t，x)解的性态特别是其周期解的性态对解释客观世界中一些物体的运动规律具有深刻的理论价值和应用价值.在一般情况下，要研究x′=X(t,x)的解的几何性态比较困难，而对于自治系统x′=X(t,x)解的几何性态的研究，在国内外专家学者的努力下，已取得了若干丰硕的成果，特别的对平面多项式系统的极限环的存在性、稳定性已有很多很好的结果，著名的叶彦谦教授在此方向上已出过两本专著.而对于非自治微分系统的研究结果就相对有限了，其中对于周期系统的研究已有著名的Lyapunov变换和Poincaré映射，Mironenko又开创了一个新的方法，通过反射函数来建立系统x′=X(t,x)的Poincaré映射，从而达到研究其解的性态的目的.具有相同反射函数的微分系统类称为等价的，等价的周期系统类的周期解的性态相同，因此为了研究一类非线性微分系统解的性态，只需研究与该系统等价的线性系统或自治系统解的性态即可.
　　 本文是在已有文献[27-43]的基础上，对构造与自治微分系统等价的非自治微分系统作进一步的研究.在引言中，介绍了问题的研究背景，研究现状和研究成果.在预备知识里，为后文叙述方便，详细地给出了反射函数的定义及性质，反射函数与Poincaré映射的定理，这些概念贯穿全文的始终.
　　 由叶彦谦的文献[1]可知，任何一个平面自治二次多项式微分系统总可化为这样一个(Ⅲ)类系统：(公式略)而对这个(Ⅲ)类系统解的几何性态的研究已有若干著名的成熟的结果.在本文的主要部分，首先讨论了自治二次多项式微分系统(1)与非自治二次微分系统等价的充要条件，据此构造与系统(1)等价的非自治二次多项式微分系统：(公式略)这样我们就可以利用自治系统解的性态来讨论与其等价的非自治系统.
　　 其次在微分系统(1)以原点为中心点的四组条件下，分别构造了等价的非自治微分系统，另外，根据系统(1)的首次积分构造了等价的非自治微分系统，并利用相同的方法和思路研究了与Hamilton系统等价的微分系统.
　　 最后我们给出一个例子以验证上面结论的正确性.

目录

文摘

英文文摘

声明

第一章引言

第二章预备知识

2.1反射函数的定义及其性质

2.2反射函数与Poincare映射的关系

第三章主要结果

第四章举例

参考文献

致谢