一类多项式微分系统的合局分支和两类多项式微分系统的Hopf分支

摘要

Hilbert第16个问题的第二部分是寻求任一n阶多项式系统中极限环的最大个数和分布.虽然这个问题历时百年至今还没有完全解决,但是围绕这个问题,中外数学家的研究层出不穷,所建立的理论与方法丰富多样,所取得的研究成果也十分丰硕.近年来,多项式系统极限环个数的研究方法主要是分支理论及其相关的理论工具.
　　 本论文共分三章,各章内容介绍如下:
　　 本文第一章为引言,主要内容是介绍所研究课题的来源与现状,以及本文的研究方法和主要结论.
　　 第二章为一类多项式微分系统的全局分支.我们运用定性分析和分支理论的方法来研究下述多项式系统
　　 (x)=y(1+x4),(y)=-x(1+x4)+ε(l∑j=0)ajxjy,(1)
　　 这里0<ε《1,l=2n+2或2n+3,n≥0并且a0,a1,…,al都为实数,这个系统是文献[6]中的系统(2)当m=l时的特殊情况.对于n=0,1,2,3时,文献[6]中的定理A,分别给出了极限环个数的最大值的一个范围.本章的主要目的是给出它的精确值,并且通过来求Melnikov函数的展开式和用分析方法研究其根的个数,得到只考虑后继函数关于ε的一阶扰动,当n=0,1,2,3时,多项式系统(1)的极限环的最大个数是n+1.这一结果改进了[6]的相关结果.
　　 第三章为两类多项式微分系统的Hopf分支.我们运用定性分析和一阶Melnikov函数展开式的方法,还结合使用了第二章中的证明方法,研究文献[6]中的多项式系统(2)
　　 (x)=y(1+x4),(y)=-x(1+x4)+ε(l∑j=0)ajxjy2m-1,(2)
　　 这里0<ε《1,l=2n+2或2n+3,m,n是任意正整数且a0,a1,…,al是实数,我们发现,并不一定要求n≥1.也就是说,文献[6]中的定理A的第一部分的证明过程对于n=0时仍然成立,同时对于下面的扰动系统
　　 (x)=y(1+x4),(y)=-x(1+x4)+ε(l∑j=0)(m∑i=l)aijxjy2i-1,(3)
　　 这里0<ε《1,l=2n+2或2n+3,m≥1,n≥0,且ai,j(1≤i≤m,0≤j≤l)都是实数,也是成立的.然而,我们将给出一个例子来说明文献[6]中的定理A的第二部分对于系统(2)当m=2且n=0时的情况是错误的.此外,这部分的主要创新在于下列两点,首先是推广了[Han,2000]1中关于极限环Hopf分支的主要结果,获得一个新定理；其次,利用已有定理和本文的新定理以及引入新的分析技巧来研究一阶Melnikov函数展开式及计算其根的个数,得到:只考虑后继函数关于ε的一阶扰动,对于任何m≥1,n≥0,系统(2)在中心点的Hopf环性数为n+1,系统(3)在中心点的Hopf环性数至少为3m+n-2.

目录

文摘

英文文摘

第一章 引言

第二章 一类多项式微分系统的全局分支

2.1 主要结果

2.2 主要结果的证明

第三章 两类多项式微分系统的Hopf分支

3.1 介绍和主要结果

3.2 预备引理和定理

3.3 主要结论的证明

3.4 当m=2时系统(3.1.1)的极限环个数

致谢

参考文献

攻读学位期间取得的研究成果