浅水方程阶梯黎曼问题精确解的求解方法研究

摘要

浅水方程（Shallow Water Equations，SWE）的间断问题被称为黎曼问题(RiemannProblem，RP)。黎曼问题又分为齐次黎曼问题和非齐次黎曼问题。其中含底坡源项的黎曼问题被称为阶梯黎曼问题(Step Riemann Problem)，也称非齐次黎曼问题。齐次黎曼问题已经得到了充分的研究，其求解方法有近似黎曼解和精确黎曼解。近似黎曼解有Roe格式，HLL格式以及ASUM格式等，精确黎曼解可以用简单的Newton迭代法来解决，这些都取得了很好的计算结果。而阶梯黎曼问题目前还没有一个好的解决方法。本文尝试利用迭代法解决这一问题。主要工作如下: (1)阶梯黎曼问题是在初始条件的基础上新衍生出两个新的状态，这两个新的状态与两边的初始条件之间存在着数学关系，如果这种关系以激波的形式呈现出来，则新衍生状态的物理量与初始条件的物理量之间满足RH条件;如果这种关系以稀疏波的形式呈现出来，则新衍生状态的物理量与初始条件的物理量之间满足广义黎曼条件。这两种情况的的排列组合构成四种黎曼解的形式。与齐次黎曼问题不同的是，阶梯黎曼问题会衍生出两个新的状态，这两个新衍生状态的物理量之间存在着满足RH条件的关系，会以静态激波的形式呈现出来。这些关系组成方程组，本文的任务就是求解此方程组。 (2)研究讨论了使用Newton法求解上述方程组时出现的问题，这些问题体现了Newton法在求解浅水方程阶梯黎曼问题时的局限性:①Newton迭代法出现不收敛情况;②Newton迭代法收敛至错解处;③Newton法迭代过程中出现雅可比矩阵奇异或接近奇异，迭代难以继续进行下去。针对Newton法的局限性在其他文献中寻找了两种改进算法:中点求积法和连续型修正Newton法来避开Newton法的缺点。其中，中点求积法采用对迭代初值进行优化的方法来达到对Newton法的改进;而连续型修正Newton法则通过对迭代步步长的优化来达到对Newton法的改进。并在几种不同形式的黎曼解下给出了两种算法的算例验证。此外，在算例验证的过程中，采用了简化方程组的方法以加快方程的求解速度。 (3)研究讨论了基于Gauss-Newton法的优化型算法——阻尼牛顿法，也即LM算法，并对算法的数值特征进行了研究。介绍了LM方法阻尼因子的选择及相应配套策略，结合信赖域方法调整自适应因子，从而构成自适应LM算法。详细解释了自适应LM算法的迭代过程;从该数值过程可以看出:通过对阻尼因子的调节，自适应LM方法具有了避开雅克比矩阵近似奇异区的能力，从而能够求解非线性方程组奇异问题。并对算法在较差迭代初值的条件下进行验证。

目录

摘要

第一章引言

1．1 研究背景

1．2非线性双曲型守恒律方程组近似解法

1．3非线性双曲型守恒律方程组的精确求解方法

1．3．1针对不收敛或收敛至错解的改进方法

1．3．2针对奇异问题的改进方法

1．4研究内容

1．5研究思路

第二章黎曼问题及其解的基本结构

2．1黎曼精确解

2．1．1不含源项的浅水方程

2．1．2含底坡源项的浅水方程

2．1．3变量之间满足的关系

2．2主要结果

2．3缩减变量方法

2．4本章小结

第三章两种针对Newton的缺陷的改进算法

3．1 引言

3．2计算阶梯黎曼问题的几种算法

3．2．1中点求积法

3．2．2连续型修正Newton法

3．3两种改进算法应用

3．3．1程序正确性验证

3．3．2求解逆矩阵方法在Newton算法中效率验证

3．3．3初值条件较差时收敛性比较

3．4本章小结

第四章优化型算法

4．1．2 LM算法的数值特性

4．1．3结合信赖域算法的自适应LM算法

4．1．4自适应LM算法迭代数值特点分析

4．2自适应LM算法应用

4．2．1程序正确性验证

4．2．2初值条件较差时收敛性比较

4．3．4几种算法整体优化效率

4．4本章小结

5．1 总结

5．2展望

参考文献

声明

攻读硕士期间科研成果

致谢