欧氏空间R3及单位球面S3中一类含参样条曲线的研究

摘要

参数曲线曲面的几何造型方法一直是计算机辅助几何设计（CAGD）的重要研究问题之一，在该领域有广阔的发展空间。基于参数曲线曲面的设计方法在航空航天产品开发、三维动画制作、影视特效处理等方面得到了越来越广泛的应用。
　　为提高造型方法的灵活性，要求在不改变控制顶点的情况下对曲线进行修改。一类代表性的方法是采用非均匀有理B样条(NURBS)，通过修改其中的权因子改变曲线形状。但是NURBS存在计算复杂、权因子的修改与形状改变之间的关系不够明确等问题。另一类代表性的方法是在基函数中引入形状参数，通过改变形状参数调整曲线形状，这类方法具有操作灵活、计算简单、形状改变可预测等优点，因而成为当前CAGD研究领域的热点之一。本文首先利用一类广义Bernstein基函数研究了广义Bézier曲线间的G1及G2光滑拼接问题，然后构造出欧氏空间R3中带形状参数的Gamma样条曲线、带形状参数的Beta样条曲线。其次，考虑到在实际应用中，有可能会对曲线附加一些特殊约束。例如在球状物体数控加工中，要求刀具轨迹位于球面上；在计算机动画设计中，要求对关键帧朝向进行光滑插值；在机器人路径规划中，要求机器人运动平稳等。由于带有约束条件，这一类问题用普通的R3中Bézier曲线或样条曲线处理较为复杂。因此利用四元数方法构造了单位球面S3上的含形状参数的样条曲线。得到的含参曲线不仅具有原曲线的诸多优良性质，而且具有更加灵活的形状可调性。最后，通过数值实验讨论了不同形状参数的取值对曲线形状的影响，验证了算法的可行性与有效性。

目录

封面

中文摘要

英文摘要

目录

第一章绪论

1.1三次λμ-B基的定义及性质

1.2几种含有参数的基函数

1.2.1 两组含参数的五次多项式基函数

1.2.2 带多个形状参数的调配函数

1.2.3 带形状参数的三次调配函数

1.2.4 带局部形状参数的调配函数

1.3 四元数预备知识

1.3.1 四元数的历史及意义

1.3.2 四元数基础知识介绍

1.4 论文研究的主要内容

1.5 本章小结

第二章 欧氏空间R3中构造含参样条曲线

2.1 多参数Gamma样条曲线的构造

2.1.1引言

2.1.2多参数Gamma样条曲线构造方法

2.1.3计算实例与分析

2.1.4小结

2.2 多参数Beta样条曲线的构造

2.2.1双参数贝齐尔曲线的G2 Beta约束

2.2.2多参数G2三次Beta样条曲线

2.2.3小结

2.3 本章小结

第三章 单位球面S3中含参样条曲线插值

3.1含参球面Bézier曲线构造

3.1.1广义Bernstein基函数

3.1.2含参球面Bézier曲线

3.2球面Bézier样条曲线插值

3.2.1曲线光滑拼接

3.2.2样条曲线插值

3.3数值计算实例

3.4双参数三次Bézier曲线构造四元数曲线

3.4.1双参数Bézier四元数曲线

3.4.2双参数Bézier四元数曲线的高阶导数表达式

3.5本章小结

第四章 总结与展望

4.1 主要研究成果

4.1 展 望

参考文献

攻读硕士学位期间发表的论文

致谢

声明