约束优化的柔性惩罚增广拉格朗日方法

摘要

增广拉格朗日函数可以看作是二次罚函数的推广,也可以看作是拉格朗日函数与二次约束违反度通过罚因子的一个组合,由于引进了拉格朗日乘子估计,在理论上不需要罚因子趋于无穷大也能使得原优化问题的局部极小点是增广拉格朗日函数的局部极小点。增广拉格朗日方法是一种序列无约束优化方法,因而可以使用各种现有的无约束优化方法处理,另一方面,人们往往把增广拉格朗日函数作为一种效益函数,其作用是衡量当前尝试步是否能够接受的一个标准,这两种做法的共同点是采用一个目标,即增广拉格朗日函数,在算法具体实现中,都要求罚因子序列单调增加,太大的罚因子仍然可能导致计算溢出。
　　本文提出一种介于惩罚型方法和无惩罚型方法之间的一种新型算法,利用增广拉格朗日函数的二次信赖域模型给出尝试步,其模型是标准的信赖域子问题,有多种方法可以有效求解,这种模型还有效避免了约束函数线性化约束不相容以及线性化约束与信赖域不相容的问题。子问题的解与罚因子有关,罚因子的大小仅仅与当前迭代点的信息有关,当迭代点远离可行域时,适当的惩罚促使迭代靠近可行域,而当约束违反度较小时,算法重点改善最优性,罚因子序列是非单调的。新方法的接受准则不是使用增广拉格朗日函数作为效益函数,而是采用目标函数本身和约束违反度两个目标来衡量尝试步是否可接受。
　　在较弱的假设条件下,我们分析了新算法的适定性,证明了算法产生的迭代序列存在一个聚点或者是原问题的不可行稳定点,或者在此聚点线性独立约束规格不成立,或者是原问题的一阶稳定点。最后,我们对一些困难的等式约束优化问题进行了初步的数值实验。

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第一章 引言

第二章 算法描述

第三章 适定性分析

第四章 全局收敛性

第五章 数值结果

第六章 结束语

参考文献

附录 A

致谢