关于ζ函数和完全平方数的研究

摘要

本文主要研究了如下两个方面的内容: 第一部分，我们知道黎曼ζ函数是胡尔维茨ζ函数的特殊形式.本文中我们证明了胡尔维茨ζ函数的一个递推关系式，即定理2.3.1. 定理2.3.1假设x∈R，α∈C，0＜|x|≤2π，对于n∈N+，有ζ（n，α）=1/n+1∞∑j=1i1+jXn+jBj+1(α)/(n+j)！-n-1∑j=2in-1xn-jζ(j,α)/(n-j)！-xn-1/(n-1)！(πi/2+∞∑k=01-α/(k+α)(k+1) n-1∑j=11/j-log|x|)+∞∑k=0i1-nei(k+α)x/(k+α)n. 本文通过证明定理2.3.1的一个等价命题而得到的定理2.3.1的证明，定理2.3.1的等价命题即为定理2.3.2. 定理2.3.2假设x∈R，α∈C，0＜|x|≤2π，对于n∈N+，有∞∑k=0ei(k+α)x/(k+α)n=in-1xn-1/(n-1)！(πi/2+∞∑k=01-α/(k+α)(k+1)+n-1∑j=11/j-log|x|)+∞∑j=0in+jxn+jζ（-j，α）/(n+j)！+n∑j=2in-1xn-jζ（j，α）/(n-j)！. 第二部分，W.D.Banks和F.Luca证明了:存在无穷多对(p，q)，其中P,q为不同的素数，使得(p-1)(q-1)是一个完全平方数.本文推广了以上结果，得到定理3.2. 定理3.2.给定整数c≥1，存在无穷多对(p，q)，其中P,q为不同的素数，使得(p-c)(q-c)是一个完全平方数.

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摘要

第一章 前言

1．1 函数概念及符号表示

1．2 问题背景及进展

1．3 本文主要结果

第二章 收敛级数表示胡尔维茨ζ函数

2．1 Riemannζ函数和Dirichlet L函数的相关结论

2．2 胡尔维茨ζ函数的相关结论

2．3 定理2．3．2的证明

第三章 关于完全平方数定理的推广

3．1 预备定理

3．2 定理3．2．的证明

参考文献

致谢