求解大规模非对称矩阵特征值问题的加权Arnoldi方法

摘要

求解大规模矩阵特征值问题是当今科学与工程计算的热点之一。最近一、二十年来，在大规模非对称矩阵特征值问题的数值求解方面已经取得了较大的进展。但是，仍然有一些问题没有得到彻底的解决。正因为如此，本文在如下方面做了一些工作：
　　 首先，本文介绍了大规模矩阵特征值问题的来源和解决这类问题的一些经典数值方法，并对问题的研究现状作了简要的回顾。
　　 Arnoldi方法非常适合计算矩阵的端部特征对，对于实际问题中产生的大规模矩阵内部特征问题，这种方法却常常失效。Shift-and-invert Arnoldi方法对于大规模矩阵内部特征问题的求解非常有效，且能达到快速收敛。但是由于在计算过程中需要对大规模矩阵进行分解，一方面会破坏原矩阵的稀疏结构，增加存储量；另一方面，Arnoldi方法在迭代过程中对矩阵的扰动非常敏感，而求逆过程很难保证达到可靠的精度，因此这种方法被认为是不实用的。由Morgan提出的调和Arnoldi方法目前被认为是求解大规模矩阵内部特征问题的最有效方法之一。为了进一步减少该方法的存储量，加快收敛速度，改善精度，本文第二章我们针对调和Arnoldi方法进行加权，得到加权调和Arnoldi方法，并且考虑权矩阵的选择，对它进行理论分析和数值试验，表明了新算法的优越性。
　　 由Arnoldi算法的过程知，形成Krylov子空间的一组标准正交基时需要将新产生的向量与已产生的所有基向量正交，同时还要计算一个m阶Hessenberg阵的全部特征对，其存储量很大甚至无法实现。因此，在实际计算时，由内存、收敛速度和计算速度等方面考虑，Krylov子空间的维数m不应该太大。而对于选定的m，用Arnoldi方法计算的Ritz值和Ritz向量又未必满足精度要求。克服这一困难的办法是用一个Ritz向量或几个Ritz向量的线性组合代替初始向量v1重复使用Arnoldi方法，即采用重新开始技术。本文第三章讨论几种重新开始Arnoldi方法，并运用加权的思想提出一种新算法，通过数值试验验证其收敛性和精度。

目录

文摘

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论文说明：图表目录

声明

第一章绪论

1.1大规模矩阵特征值问题的来源

1.2投影类方法

1.3本文的工作

第二章解大规模矩阵内部特征问题的加权调和Amoldi方法

2.1引言

2.2调和Amoldi方法

2.3加权Arnoldi方法

2.4加权调和Amoldi方法

2.5数值试验

2.6结论

第三章解非对称矩阵特征问题的改进重新开始Amoldi方法

3.1引言

3.2 Amoldi方法

3.3重新开始的Amoldi方法

3.4加权重新开始的Amoldi方法

3.5数值试验

3.6结论

第四章总结与展望

参考文献

致谢

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