一类非线性偏微分方程初边值问题的可计算性分析

摘要

研究微分方程解的数值算法是数值分析的核心。用来解微分方程的数值技术主要包括有限差分法和有限元法，目标是通过这种数值技术找到稳定的算法来快速收敛到正确的解。但是这些方法还不能够适用于每一个微分方程，可计算分析主要研究：如何来计算微分方程所描述的物理过程，可计算分析是以图灵机为基础研究连续性问题的可计算性和可计算复杂性.在可计算分析当中，如果存在着一个图灵机能够从给定参数的近似值计算出收敛到微分方程解的近似值，那么，这个微分方程的解就是可计算的，存在着收敛算法的数值解也就得到了保证。
　　 本文对变系数KdV-Burgers方程和薛定谔方程解算子的可计算性进行研究。全文共分五章：首先，对可计算理论的研究历史和现状进行了综述.第二章介绍了图灵机和TTE理论框架，给出了多种可计算空间的定义及其相应空间上的可计算性质.第三章应用TTE理论，算子半群理论，证明了索伯列夫空间上的变系数KdV-Burgers方程的解算子在Bourgain-type空间上是图灵可计算的.第四章对带有初边界值条件的线性薛定谔方程，通过作关于t的Laplace变换得到等价的积分方程，证明了方程的解算子是图灵可计算的，第五章对带有初始条件的非线性薛定谔方程，在索伯列夫空间上证明该方程的解算子是图灵可计算的。
　　 可计算性的证明过程通常会产生图灵算法，这些图灵算法可能会被转化为数值算法。本文所得到的研究结果拓展了数字计算机解微分方程的应用领域。

目录

文摘

英文文摘

声明

第一章 绪论

1.1 可计算理论的发展历史

1.2 本课题研究的基本内容和意义

第二章 预备知识

2.1 图灵机和TTE简介

2.2 基本概念

2.3 常见空间的可计算结构

2.4 Bourgain-type空间

第三章 KdV-Burgers方程的初边值问题可计算性分析

3.1 引言

3.2 变系数KdV-Burgers方程解的可计算性

3.3 小结

第四章 带有初边值条件的薛定谔方程解的可计算性

4.1 引言

4.2 计算线性初边值问题的解

4.3 小结

第五章 带有初始条件的薛定谔方程解的可计算性

5.1 引言

5.2 非线性薛定谔方程解的分析性质

5.3 非线性薛定谔方程解的可计算性

5.4 小结

结束语

参考文献

致 谢

硕士在读期间发表的论文